长安大学：《概率统计》课程电子教案（PPT教学课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.3）条件分布与独立性

§3.3条件分布与独立性 条件 三

§33条件分布与独立性 条件分布 牛定义35设x是二维离散型随机变量,对 于固定j,若PY=y}>0,则称 P(X=x,r=yi p, Pp=x,r=y, 1=12…,(3-21) 庄为在=y条件下随机变量x的条件分布 FF( Conditional Probability Distribution) 王简称条件分布 ● 当(X,Y)是连续型随机变量时,由于对 任意实数X和Y,有PX=x}=0,P{=y=0 上页 圆

§3.3 条件分布与独立性 一、条件分布 定义3.5 设 是二维离散型随机变量，对 于固定 ，若 ，则称 （3—21） 为在 条件下随机变量 的条件分布 律（Conditional Probability Distribution）， 简称条件分布． 当 是连续型随机变量时，由于对 任意实数X和Y，有 , (X , Y) j P{Y = y j }  0   1, 2, , { } ( , ) = =  = = = = = =  i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j j Y = y X (X , Y) P{X = x} = 0 P{Y = y} = 0

因此,不能直接用条件概率公式,此时我 们用极限的方法引入“条件分布函数”的 概念: 设(X,)的联合概率密度函数为(x,y),(X,Y) 关于Y的边缘概率密度函数为(y),给定 对于任意给定的>0s当时孕考虑条件 牛概率 PksI, yers+e).I If, "ft, ydyd PX≤xy<Ysy+e}= P{y<Y≤y+e} +E fy (ydy 上式给出了在条件下的条件分布函数.为 牛此我们引入以下定义 上页

因此，不能直接用条件概率公式，此时我 们用极限的方法引入“条件分布函数”的 概念： 设 的联合概率密度函数为 ， 关于Y的边缘概率密度函数为 ，给定y， 对于任意给定的 >0，当 时，考虑条件 概率 上式给出了在条件下的条件分布函数．为 此我们引入以下定义 (X , Y) f (x, y) (X , Y) f (y) Y  xR P{X  x y  Y  y +}      + − + =   +    + =     y y Y x y y f y y f x y y x P y Y y P X x y Y y ( )d [ ( , )d ]d { }

王定义37给定y,对于任意给定的>0,79+0 若对任意的实数x,极限mPX≤xy<Ysy+e; mn2xyy存在,则称此极限为在 生条件下的条件分布函数,记为 设(X,Y)的联合分布函数为(x,y),概率密 牛度函数为/(xD,若在点(x处y连续, Y的边缘概率密度函数为连续, 且f(>0,则有 工工 XY (xlv)=lim P(X <x y<r<y+a) P{x≤x,y<Ysy+e E-)0+ P{y<Y≤y+8 上页

定义3.7 给定y，对于任意给定的 >0， ，若对任意的实数x，极限 存在，则称此极限为在 条件 下的条件分布函数，记为 ． 设 的联合分布函数为 ，概率密 度函数为 ，若在点 处 连续， Y的边缘概率密度函数为 连续， 且 ，则有  P{y  Y  y + }  0 lim { } 0      + → + P X x y Y y   { } , lim 0      +    + = → + P y Y y P X x y Y y Y = y F ( x y ) X Y (X , Y) F(x, y) f (x, y) (x, y) f (x, y) f (y) Y f Y (y)  0 F ( x y ) X Y lim { } 0   =    + → + P X x y Y y   { } , lim 0      +    + = → + P y Y y P X x y Y y

F(x,y+8-F(x =lim F(x,y+e-F(x, y)nt 690+ Fr(+8)-F()Frc Y( +e)-Fl E→>0+ OF(x, y) f(x, y)dx (y) f1(y) 亦即Fm1(xy)= dx fr o) (3-22) 这样,若记xp(x为在Y=y的条件下X的 王条件概率密度函数,则由上式知AD (323)类似地我们可以定义~0 frx( x) x. y fr(x) 上页

亦即 （3—22） 这样，若记 为在 的条件下X的 条件概率密度函数，则由上式知 （3—23）类似地, 我们可以定义 和 ( ) ( ) F (y ) F (y) F x y F x y Y + − Y + − = → +    , , lim 0 ( ) ( ) ( ) ( )       + −       + − = → + → +       F y F y F x y F x y Y 0 0 lim , , lim ( ) F (y) y F x y Y    = , ( ) ( , )d f y f x y x Y x − = F ( x y ) X Y − = x Y x f y f x y d ( ) ( , ) f ( x y ) X Y Y = y ( ) f (y) f x y f x y Y X Y , ( ) = F ( y x ) Y X ( ) ( , ) ( ) f x f x y f y x X Y X =