§4.1数学期望 >三。离散型随变长的数莺期 三。能型航机家呦数 回。数莺期尚帐
主第四章随机变量的数字特征 从第二章和第三章可知只要知道了随机变量的概率分就 r能完整地刻画随机变量的性质.然而在许多实际问题中一方 面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难,另一方面有 时也并不需要知道随机变量的完整性质,而只要了解了随机 变量的某种特征就可以了.用来描述随机变量某种特征的量 T称之为随机变量的数字特征 本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期 望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个 下随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念 上页
第四章 随机变量的数字特征 从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就 能完整地刻画随机变量的性质．然而在许多实际问题中一方 面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有 时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机 变量的某种特征就可以了．用来描述随机变量某种特征的量 称之为随机变量的数字特征. 本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期 望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个 随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念．
s4.1数学期望 一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布: x401 34 10 PoP1 2P3 可以看出该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机 变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和.一般地,为刻 画随机变量所取的平均值,我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望 定义41设X为离散型随机变量,其分布列为 上页
§4.1 数学期望 一、数学期望的概念 某射手在每次射击中命中的环数服从如下布： 可以看出:该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机 变量X的可能取值与其对应的概率乘积之和．一般地，为刻 画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义 二、离散型随机变量的数学期望 定义4.1 设X为离散型随机变量，其分布列为
P P1 p P& 若级数∑xP绝对收敛即∑xpx+,则称级数∑xP 为随机变量X的数学期望ctn记为E,BD的和 EX ∑ kkK (41) 王若级数D不绝对收敛,则称N的数学期里不存在 在定义中,要求∑xP绝对收敛是必须的,因为X的数学 期望是一个确定的量,应不受xkPk在级数中的排列次序的影 响,这在数学上就是要求级数绝对收敛 上页
若级数 绝对收敛,即 ,则称级数 的和 为随机变量X的数学期望(Expectitiong),记为 ,即 （4—1） 若级数 不绝对收敛，则称X的数学期望不存在． 在定义中，要求 绝对收敛是必须的，因为X的数学 期望是一个确定的量，应不受 在级数中的排列次序的影 响，这在数学上就是要求级数绝对收敛． k=1 xk pk + = x pk＜ k k 1 k=1 k pk x EX = = k 1 EX xk pk k=1 k pk x k=1 xk pk k k x p
由(4-1)知,X的数学期望实际上是其所有取值x关于 其相应概率p为权重的加权平均.当X的取值为有限个E r定存在,但当X的取值为无限多个时,就必须要求级数∑xPk 绝对收效,才存在 设X是一维随机变量,=8(是X的函数,则Y的数学期望 可由(41)求出,但此时需要知道Y的概率分布律.不过由 于Y是X的函数,还可以通过X的概率分布律间接求出Y的数学 r期望,这就是下面的公式: 若∑g(x)绝对收敛,则 EY=E[g(X)=∑g(x)Pk k=1 (42) (证略) 类似地,我们还有 上页
由（4－1）知，X的数学期望实际上是其所有取值 关于 其相应概率 为权重的加权平均．当X的取值为有限个， 一 定存在，但当X的取值为无限多个时，就必须要求级数 绝对收效， 才存在． 设X是一维随机变量， 是X的函数，则 的数学期望 可由（4—1）求出，但此时需要知道 的概率分布律．不过,由 于 是X的函数，还可以通过X的概率分布律间接求出 的数学 期望，这就是下面的公式： 若 绝对收敛，则 ． （4—2） （证略） 类似地，我们还有 k x k p EX k=1 k pk x EX Y = g(X ) Y Y Y Y =1 ( ) k k pk g x = = = 1 [ ( )] ( ) k k pk EY E g X g x