§3.4二维随机变量函数的分布 阅的提 。三随机戴量画数的 页页
834二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布, 同样,我们可以讨论二维随机变量函数的分布 、问题的提法 设(x,x2…X是n维随机变量,其联合分布已知 中,=8,是D元实连续函数,则一,x 2,…,Xn) 的分布称为(X12X2,…X)函数的分布 需要注意的是,n维随机变量函数形成的随 午机变量仍然是二维随机变量,这里我们主要讨论 关键是掌握其基本思想方法 上页
§3.4 二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布， 同样，我们可以讨论二维随机变量函数的分布． 一、问题的提法 设 是n维随机变量，其联合分布已知 ， 是n元实连续函数，则 的分布称为 函数的分布． 需要注意的是，n维随机变量函数形成的随 机变量仍然是一维随机变量，这里我们主要讨论 二维随机变量函数的分布问题，解决这类问题的 关键是掌握其基本思想方法． ( ) X X Xn , , , 1 2 ( ) n z g x , x , , x = 1 1 ( , , , ) Z = g X1 X2 Xn ( ) X X Xn , , , 1 2
主二、二维随机变量函数的分布 王1.离散型随机变量函数的分布 庄若x与Y相互独立,、4)P,则 Z=X+Y~P(A1+22) 庄这种性质称为可加性,因此泊松分布具有 可加性.类似地,二项分布也具有可加性 若xBmy-8n)且与y相互独 上立,则 X+YB(m+n, p) 上页
二、二维随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量函数的分布 若X与Y相互独立，且 , ，则 ． 这种性质称为可加性，因此泊松分布具有 可加性．类似地，二项分布也具有可加性. 若 相互独 立，则 ． ~ ( ) 1 X P ~ ( ) 2 Y P ~ ( ) Z = X +Y P 1 + 2 X ~ B(m, p), Y ~ B(n, p)， 且X与Y X +Y ~ B(m+ n, p)
2连续型随机变量函数的分布 设f(xy)为联合概率密度函数,当=8(xy) 是连续函数时,则=8(xy)的概率密度函数() 可如下获取: 平第一步:求出z=8(x)的分布函数,对任意∈R SF(0=P(Z<=)=P(8(X, Y)s:]=P(X, r)ED) f(x,y)dx dy Ar第二步:根据上式,利用分布函数与概率密 度的关系,或对F2(z)求导,即可得到 f2(z)=F2(z) 上述做法就是求二维随机变量函数分 王布的一般方法,应充分理解和熟练掌握 王页下
2.连续型随机变量函数的分布 设 为联合概率密度函数，当 是连续函数时，则 的概率密度函数 可如下获取： 第一步：求出 . 对任意 ， 第二步：根据上式，利用分布函数与概率密 度的关系，或对 求导，即可得到 ． 上述做法就是求二维随机变量函数分 布的一般方法，应充分理解和熟练掌握． f (x, y) z = g(x, y) z = g(x, y) f (z) Z Z = g(X,Y)的分布函数 z R ( ) Z D z F (z) = P{Z z } = P{ g ( X, Y ) z } = P X, Y ( ) ( ) f x y x y D g x y z z , d d : , = F (z) Z f Z (z) = F（Z z）
下面讨论几个具体的随机变量函数的 分布:设是二维连续型随机变量,是其联 上合概率密度函数图6Dz (1)和的分布 求z=X+Y的概率密度函数.对于任 王意的实数乙,根据定义,由(3-1)有 工工工 F2()=P≤}=P(+Ys+ xty=2 ∫(x,y0xdy y≤z X +∞ f(x, ydx dy 图3.6
下面讨论几个具体的随机变量函数的 分布：设是二维连续型随机变量，是其联 合概率密度函数. 图3.6Dz （1）和的分布 求 的概率密度函数．对于任 意的实数Z，根据定义，由（3－11）有 Z = X + Y F (z) P{Z z} P{X Y z} Z = = + ( ) + = D x y z Z f x y x y : , d d f (x y) x y z y , d d = − − + − y x 图3.6 Dz x + y = z o