第二节数列极限及其性质一、数列的定义二、数列极限的定义三、数列极限的性质
第二节 数列极限及其性质 一、数列的定义 二、数列极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列文1,2,3.·…·：依次排列的一列数定义1按正整数其中的每一称为数列，记为{x，，Xi,X2soo,Xng个数称为数列的项，第n项x，称为数列的通项123例如：2'3'4'1+n+(-1)*)1,-1,.,(-1)n+1,..n+(-1)n-1n+(-1)"-i目录上页返回结束机动下页
按正整数 1,2,3, 依次排列的一列数 1 2 , , , , n x x x 称为数列， 记为 { }, n x 其中的每一 第 n 项 称为数列的通项. n x 例如： 个数称为数列的项， 1 2 3 , , , , , ; 2 3 4 + 1 n n − − +1 1, 1, ,( 1) , ; n + 1 n n − +1 ( 1)n 定义1 一、数列 − − 1 1 4 + ( 1) 2, , , , , ; 2 3 n n n − − 1 + ( 1)n n n
注意：①数列x对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴点依次取Xi,X2,o,Xnposxx2数列（x也可以看作是如下整标函数X, = f(n),nezt若数列x满足≤≤≤≤·定义2则x称为单调递增数列目录上页下页返回结束机动
= ( ), . + n x f n n Z 注意： 1 2 , , , , . n 点在数轴点依次取 x x x 数列 { } xn 也可以看作是如下整标函数 数列 { } 对应着数轴上一个点列. n x 可看作一动 x 1 x 2 x 3 x n x 定义2 1 2 , n 若数列 { } 满足 x x x n x 则 { } xn 称为单调递增数列. x 2 x1 x n x
若数列x满足x≥x≥≥x≥定义3则x，称为单调递减数列X单调递增和单调递减的数列统称为单调数列说明：对应于单调数列的点x，只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情况：①x，沿x轴移向无穷远(x，→80);xn沿x轴无限趋近于某个定点a(xn→a)目录上页下页返回结束机动
若数列 { } xn 满足 1 2 , n x x x 则 { } xn 称为单调递减数列. 定义3 x 2 x 1 x n x 单调递增和单调递减的数列统称为单调数列. 说明：对应于单调数列的点 xn 只可能向一个方向 移动， 所以只有两种可能情况： xn 沿 x 轴移向无穷远 ( ); n x → xn 沿 x 轴无限趋近于某个定点 a ( ). n x a →
定义4 若数列(x}满足 x,≤M, n=1,2,，则{x,}称为有上界的数列，M为一个上界则定义5若数列(x,}满足x≥m,n=1,2,g(x,}称为有下界的数列，m为一个下界定义6若{x,为既有上界又有下界的数列，即3M>0,有|x,<M,n=1,2,，则(x, 称为有界数列．M 为一个界．否则，{x, 称为无界数列定义7在数列（x中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得的一个数列称为原数列的子数列或子列上页目录下页返回结束机动
定义4 若数列 { } xn 满足 , = 1,2, , n x M n 则 { } xn 称为有上界的数列， M 为一个上界． 若 { } xn 为既有上界又有下界的数列， 即 有 | | , = 1,2, , n M , x M n 则 { }n x 称为有界 M 为一个界． 定义5 若数列 { } xn 满足 , = 1,2, , n x m n 则 { } xn 称为有下界的数列， m 为一个下界． 定义6 否则， { }n 数列． x 称为无界数列． 定义7 在数列 { } xn 中任意抽取无限多项， 持这些项在原数列中的先后次序，这样得的一个数列 称为原数列的子数列或子列． 并保