f(xo +h)- f(xo) = f(xo +0jh)h, (0 <01 <1),f(xo)-f(xo -h)= f'(xo -02h)h, (0<02 <1),两式相减，得f(xo +h)+ f(xo -h)-2f(xo)=[f(xo + 0jh)-f'(xo -02h)lh,f'(x)在[xo-02h,xo+0jh]上满足拉格朗日公式条件，于是[f'(xo +djh)- f'(xo -02h)|h= f"()(01 +02)h, (xo -02h<=<xo +01h)目录上页下页返回结束机动
− 0 0 0 1 f x h f x f x ( + ) ( ) = ( + ) , θ h h − − − 0 0 0 2 f x f x h f x ( ) ( ) = ( ) , θ h h 1 (0 < < 1), θ 2 (0 < < 1), θ 两式相减，得 f x h f x h f x ( + ) + ( ) 2 ( ) 0 0 0 − − = [ ( + ) ( )] , f x 0 1 0 2 θ h f x − −θ h h f x ( ) 在 [ , + ] x0 2 0 1 −θ h x θ h 上满足拉格朗日公式条 件，于是 [ ( + ) ( )] f x 0 1 0 2 θ h f x − −θ h h 2 = ( )( + ) , 1 2 f ξ θ θ h ( < < + ), x0 2 0 1 −θ h ξ x θ h
由(1)的条件知，f"()>0，于是f(xo + h)+ f(xo -h)-2f(xo)>0,即(xo +h)+ (x0 -h) > f(x0),2也就是f(xi)+ f(x2)X+X222所以f(x在[a,b上的图形是凹的同理可证（2）目录上页下页返回结束机动
由 (1) 的条件知， f ( ) > 0, ξ 于是 f x h f x h f x > ( + ) + ( ) 2 ( ) 0, 0 0 0 − − 即 0 0 − 0 ( + ) + ( ) ( ), 2 f x h f x h > f x 也就是 1 2 1 2 ( ) + ( ) + ( ), 2 2 f x f x x x > f 所以 f x( ) 在 [ , ] a b 上的图形是凹的． 同理可证 (2)
例1判断曲线y=lnx的凹凸性解因为函数 =lnx 的定义域为(O,+o)，且所以曲线y=Inx在的定义域（O,+oo)内是凸的例2判断曲线=x3的凹凸性。因为函数 =x3 的定义域为(-o0,+)，且解y'=3x?, y"= 6x,又在（-00,0)内，J"<0，所以J=x3在(-0,0)内是凸的。目录上页下页返回结束机动
例1 判断曲线 y x = ln 的凹凸性． 且 1 y = , x − 2 1 y = < 0, x 解 因为函数 y x = ln 的定义域为 (0,+ ), 所以曲线 y x = ln 在的定义域 (0,+ ) 内是凸的． 例２ 判断曲线 y x = 3 的凹凸性． 且 2 y x = 3 , y x = 6 , 解 因为函数 y x = 3 的定义域为 ( ,+ ), − 又在 ( ,0) − 内， y < 0, 是凸的． 所以 3 y x = 在 ( ,0) − 内