第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、练习
二、无穷大 一、无穷小 三、无穷小与无穷大的关系 四、练习 第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小1.无穷小的定义定义1若函数f(x)当 x→>xo(或x →8)时的极限为零，则称函数f(α)为x→xo（或x→）时的无穷小量,简称无穷小，例如，因为 lim sinx=O,所以函数sinx为x→0x-0时的无穷小，lim(x-1)=0, 月因为所以函数 x-1 为 x→1 时的x-1无穷小lim=0,为×→8时的无穷小因为一所以函数Xx>0 x上页目录下页返回结束机动
一、无穷小 定义1 若函数 f x( ) 当 x x → 0 时的极限 时的无穷小 例如， sin 0 lim = 0, x→ 因为 x − 1 lim ( 1) = 0, x→ 因为 x 所以函数 x −1 为 x → 1 时的 时的无穷小. 所以函数 sin x 为 x → 0 1 lim = 0, x→ x 因为 所以函数 1 x 为 x → 时的无穷小. 为零， 量， 则称函数 f x( ) 为 → 0 x x 简称无穷小. 1.无穷小的定义 ( 或 x → ) ( 或 x → ) 无穷小
(-1)nlim (-1)n=0.1是当因为所以数列x-→>8x→8时的无穷小注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆(2)零是可以作为无穷小的唯一的数2.无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程x→xo（或x→8)中，函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)= A+a,其中α是无穷小目录上页下页返回结束机动
x → 时的无穷小. − 1 lim ( 1) = 0, → n x n 因为 所以数列 是当 − 1 ( 1)n n 注意 (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数. 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1 中， 在自变量的同一变化过程 → 0 x x f x A ( ) = + , α 其中 α 是无穷小. ( 或 x → ) 函数 f x( ) 具有极限 A 的充分必要条件是
lim f(x)=A, 则设证必要性x→xo>0,>0,当0-xo时，有If(x)-A<&.令 α=f(x)-A,则 α是x→xo时的无穷小,且f(x)= A+a,所以f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小α 之和充分性设f(x)=A+α，其中 A是常数，于是If(x)-A||α|又因为α 是→xo 时的无穷小，所以 >0,>0,当0x-x时，有α，即上页目录下页返回结束机动
证 必要性 设 0 lim ( ) = , x x → f x A 则 有 | ( ) |< . f x A− ε 令 α = ( ) , f x A− 则 α 是 x x → 0 时的无穷小，且 f x A ( ) = + , α 所以 f x( ) 等于它的极限 A 与一个无穷小 α 之和. ε > 0, δ > 0, 当 0 <| |< x x − 0 δ 时， 充分性 设 f x A ( ) = + , α 其中 A 是常数， 于是 | ( ) |=| | . f x A− α 又因为 α 是 x x → 0 时的无穷小， 所以 当 0 <| |< x x − 0 δ时，有 | |< , α ε ε > 0, δ > 0, 即
Lf(x)-A<&.这就证明了A是f()的极限定理1意义①将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小）给出了函数f(x)在xo 附近的近似表达式1f(x) ~ A,误差为 α(x)3．无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的和仍是无穷小证考虑两个无穷小的和目录上页下页返回结束机动
| ( ) |< . f x A− ε 这就证明了 A 是 f x( ) 的极限. 定理1意义 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); f x A ( ) , 给出了函数 f x( ) 在 0 x 附近的近似表达式 误差为 α( ). x 3. 无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中，有限个无穷小的和仍是无穷 小. 证 考虑两个无穷小的和