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第2章 二、高阶导数的运算法则 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念
一、高阶导数的概念引例：变速直线运动s=s(t)ds速度即v=SV=dtdyd加速度a=dtdtd即a=(s')上页目录下页返回结束机动
一、高阶导数的概念 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动
若函数y=f(x）白的导数y=f（x）可导，则称定义.1f(x）的导数为f(x）的二阶导数，记作y"或即dx2或y"=(y)"类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推n-1阶导数的导数称为 n 阶导数，分别记作(4)v(n)7d3d"y21福或dx3dxndx目录上页下页返回结束机动
定义. 若函数 y = f ( x) 的导数 y = f ( x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n − 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称
例1. 设 y=ao +ajx+azx? +..+anx", 求 y(n)解：' = a1 +2a2x+ 3a,x? + ..+ na,x"- y" = 2 .la2 +3.2agx + ..+n(n -1)ann-2依次类推，可得y(n) = nlan思考：设=x"（μ为任意常数）,问(n)=？(x")(n) = μ(μ -1)(μ-2)..(μ-n+ 1)xu-n 目录上页下页返回结束机动
设 求 解: y = a1 + 2a2 x + −1 + n n na x y = 2 1a2 + a x3 3 2 2 ( 1) − + + − n n n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3a x 例1. 思考: 设 ( 为任意常数 ), y = x 问 可得
例2. 设 y=eax,求 (n)解: y'=aeax, y"=a’eax, j"=a'eaxy(n) =a"eax1- x特别有：(e*)(n) =er1例3. 设 y= ln(1+x),求y(n)(1 - x)1.2福"=(-1)解：V(1+x)2 ,(1+x)351+xy(n) = (-1)"-I (n-1)!规定0！=1(1+ x)n(n-1)!思考: y=ln(1-x), y(n) ,(1-x)n目录上页下页返回结束机动
n (1+ x) , , y = a 3 e a x 例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y = ae , 2 ax y = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y − = − 1 1 y = − 2 (1 ) 1 − x