线性代数 - 矩阵的相似对角化

矩阵的相似对角形矩阵的特征值与特征向量一、相似矩阵：1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，使B=P-1AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B可逆阵P称为相似变换矩阵(1）相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。(2)A~B一A=B,反之不对。相似与等价的关系2.相似矩阵的简单性质：(ii) A~B=A=BiA~B=r(A=r(B(ii)A～B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A-1l～B-1n-1xm-1 +...+ aj x + ao(iv) A~ B= f(A)~ f(B), f(x)=amxm +am-

矩阵的相似对角形 矩阵的特征值与特征向量 1.定义1： ，则称矩阵 与 相似，记作 设 与 都是 阶矩阵，若存在一个 阶可逆阵 ，使 B P AP A B A B n n P −1 = 可逆阵P称为相似变换矩阵。 A~B (1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2) A~B AB,反之不对。 2.相似矩阵的简单性质： (i) A ~ B  r(A) = r(B) (ii) A ~ B  A = B 1 1 ( ) ~ ~  − − iii A B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A B 1 0 1 1 (iv) A ~ B f (A) ~ f (B), f (x) a x a x a x a m m m  = m + + + + − −  一、相似矩阵： 相似与等价的关系

(1）A满足什么条件时能与对角阵^相似？(2）A与对角阵Λ相似时，可逆阵P及对角阵^怎样求？二、矩阵的特征值与特征向量1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量α使Aα=^α，则称数a为矩阵A的特征值，非零向量α为矩阵A的对应于特征值2的特征向量特征向量为非零向量！2.矩阵的特征值与特征向量的求法Aα= α=(A-E)α=0=→>A-2E=0α是方程组(A2E)X=O的非零解.满足A-2E=0的数为特征值：方程组(A-2E)X=O的非零解为特征向量。或基础解系

问题： (1) A满足什么条件时能与对角阵相似？ (2) A与对角阵相似时，可逆阵 P及对角阵怎样求？ 二、矩阵的特征值与特征向量： 1.定义2： 量 为矩阵 的对应于特征值 的特征向量。 使 ，则称数 为矩阵 的特征值，非零向 设 是 阶矩阵， 为一个数，若存在非零向量 ，        A A A A n = 特征向量为非零向量！ 2.矩阵的特征值与特征向量的求法： A =   (A − E) = O 是方程组(A− E)X = O的非零解  A− E = 0 满足A− E = 0的数为特征值； 方程组(A− E)X = O的非零解为特征向量。(或基础解系)

2-2(1-101例1：求矩阵的特4-2-204-3征 值与特征向量。A=B=24-2,0-2-1解：2-21-元4A-E|=-2-2-元24-2-元=(1 - 2)(2 + 2)2 - 16 - 16+ 4(2 + 2) -16(1 - 2) + 4(2 + 2)=(1- )(4+4+2)+24-32= -3-3 +24-28经试根知，2是一个根。故上式= -( - 2)(2 +5-14) = -(-2)(+ 7)(-2)→ =2= 2, 2 =-7（这就是特征值。）（下面求特征向量

例1：求矩阵的特 征 值与特征向量。     − − − − − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 A E           − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 A 解： (1 )(2 ) 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 ) 2 = −  +  − − + +  − −  + +  (1 )(4 4 ) 24 32 2 = −  +  +  +  − 3 24 28 3 2 = − −  +  − 经试根知，2是一个根。故 ( 2)( 5 14) 2 上式 = −  −  +  − = −( − 2)( + 7)( − 2)  1 = 2 = 2,3 = −7 （这就是特征值。） （下面求特征向量。）           − − − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 B

对= =2, (解(A-2E)X =O)-12-22-1-20= Xi =-2x2 +2x300-2-44A-2E=00024-4).. 51 = (-2,1,0)T, 52 = (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特征向量：其全部特征向量头kisi+kskik不全为零）同理可求 = -7的特征向量为3 =(1,2,-2)T其全部特征向量为k.（k±0）求特征值与特征向量的步骤：1.解A－元E=0求出的值；即得到特征值；2.对每一个元，求方程组(A－2E)X=O的基础解系；即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量

          − − − − − − = 2 4 4 2 4 4 1 2 2 A 2E 2, 对1 = 2 =          − − → 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 2 3  x = − x + x T T ( 2,1,0) , (2,0,1) 1 = −  2 = （ 不全为零）。 为属于特征值 的线性无关的特征向量；其全部特征向量为 1 1 2 2 1 2 , , 2 k  + k  k k 7 (1 2 2) . 3 3 T 同理可求 = − 的特征向量为 = ，− ( 0). 其全部特征向量为k 3 k  求特征值与特征向量的步骤： 1.解A− E = 0求出的值；即得到特征值； 特征值的线性无关的特征向量。 2.对每一个，求方程组(A − E)X = O的基础解系；即得到属于这个 (解(A− 2E)X = O)

10-1线性无关2==-1,元=-20B=4-3的特征向量只有一个0-2-1对 = =-1, i=(1,2,-1) 其全部特征向量为ki(k 0),003-10-100对 = -2,-100-14B+2E=0→104-1 00-100-10100-1→ x1 = 0, x2 = 0,x3任意; → ≤3 = (0,0,1)001其全部特征向量为k3（k≠0)00053-15-1EX : C =-3 l,r(C)=2,求a及C的特征值与特征向量33a

          − − − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 B  1 = 2 = −1,3 = −2 1, 对1 = 2 = − T (1,2, 1) 1 = − ( 0). 其全部特征向量为k1 k  2, 对3 = −           − − − + = 1 0 0 4 1 0 3 1 0 B 2E           − − − → 3 1 0 4 1 0 1 0 0           − − − → 0 1 0 0 1 0 1 0 0           → 0 0 0 0 1 0 1 0 0  x1 = 0, x2 = 0, x3 任意；( 0). 其全部特征向量为k 3 k  线性无关 的特征向 量只有一个。 r C 求a及C的特征值与特征向量。 a EX C , ( ) 2, 3 3 1 5 3 5 1 3 : =           − − − − = T (0 01)  3 =