江画工太猩院 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y) 曲面面积公式为:4=1+(+(小 3.设曲面的方程为:y=l(x,x) 曲面面积公式为:A-∫1+(+(止 D
江西理工大学理学院 ３．设曲面的方程为： y = h ( z , x ) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ２．设曲面的方程为： x = g ( y , z ) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dyz z x y x ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + 同理可得
江画工太猩院 例1求球面x2+y2+x=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1 D;:x2+y2≤ax(x,y≥0) 0,5 曲面方程z=a2-x2-y2, 0.5 于是11+(a)+/s
江西理工大学理学院 例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1, D1： x + y ≤ ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 yz xz ∂∂ ∂∂ + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y ≥ 0)
江画工太猩院 面积A=4∫1+2+x2ad D =4∫ dxdy a=x a cos 4a del th Va -r 2
江西理工大学理学院 面积A z z dxdy D = ∫∫ + x + y 1 2 2 4 1 ∫∫ − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a ∫ ∫ θ − = θ π cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = πa − a
江画工太猩院 例2求由曲面x2+y2=z8=2a-x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 +y=a 解解方程组 2a-x2+ y x+v=a 得两曲面的交线为圆周 Z=a 在xy平面上的投影域为Dn:x2+y2sn2, 由z=-(x2+y2)得 2x J
江西理工大学理学院 例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a > 0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2 ⎩⎨⎧ = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2 ⎩⎨⎧ =+ = z a x y a 在 平面上的投影域为 xoy : , 2 2 2 D x y a xy + ≤ 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =
江画工太猩院 (2x2(2y) 1+ (a a2+4x2+4y2 由z=2-x2+y知、1+2+x2 故S= 力n+42+2d∫Zb d a2+4r2·rlr+、2ma 050a (62+55-1)
江西理工大学理学院 + + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由 z = 2 a − x 2 + y 2 知 + + = 2 2 1 x y z z 2 , a x y dxdy a S Dxy ∫∫ = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy ∫∫ + 2 a r rdr a d a = θ + ⋅ ∫ ∫ π 0 2 2 2 0 4 1 2 + 2 π a ( 6 2 5 5 1). 6 2 + − π = a