第四节函数展开成幂级数 一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数
第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数
问题 函数f孔x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”， 就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间 内收敛，且其和恰好就是给定的函数x) 如果能找到这样的幂级数，则称函数x)在该 区间内能展开成幂级数
函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说,是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间 内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x). 问题 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该 区间内能展开成幂级数
一、泰勒(Taylor)级数 复习f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)=f(xo)+f(o)x-x)+Io(x-3o)2 2! ++x-xo+R,( n! 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时，将成为幂 级数，这个幂级数就称为fx)的泰勒级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 Rn (x) = ( ξ 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f ξ 则在 复习 f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2!( ) x x f x − ′′ n n x x n f x ( ) !( ) 0 0 ( ) +"+ − R (x) + n 若函数 0 f (x)在x 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂 级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 +wc-+- u-4r 为f(x)的泰勒级数. 当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题： (1)对此级数，它的收敛域是什么？ (2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?
f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2!( ) x x f x − ′′ +"+ − n +" n x x n f x ( ) !( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . (1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ (2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 f (x)在x0的某邻域内具有任意阶导数
定理1设函数f(x)在点x的某一邻域U(x0)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：limR,(x)=0 证明w-.-%r6a n→0 n-含4 f(x)=S+(x)+R(x) lim R,(x)=lim[f(x)-S,+(x)]=0,xeU(xo) n→o n-→o0
定理1 各阶导数, ( ) 0 U x 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( ) = 0. →∞ R x n n 证明 ( ) , !( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = ∑ − ∞= 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = →∞ lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] 1 f x S x n n + →∞ − = 0 , ( ) 0 x∈U x k n k k n x x k f x S x ( ) !( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = ∑ − = + ( ) 0 x∈U x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有