第四节对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,),求质 量M. 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5k,7k,5k) “分割，近似代替，求和，取极限” 的方法，可得 M=1im∑p(5,7k,5k)△S 1→0k=1 其中，几表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两，点间距离的最大者）
O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例 设曲面形构件具有连续面密度 ρ (x, y,z), 类似求平面薄板质量的思想, 采用 k k k k ρ (ξ ,η ,ζ )ΔS 可得 ∑ = n k 1 0 lim λ→ M = ( , , ) ξ k ηk ζ k 求质 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 的方法, Σ 量 M. 其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)
定义设∑为光滑曲面，f化y,)是定义在∑上的一 个有界函数，若对∑做任意分割和局部区域任意取点， “乘积和式的极限” ∑f5,,5AS记作 J∬fcx,y,2ds k=1 都存在，则称此极限为函数f化，”，)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f化，y,z)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 曲面形构件的质量为M=厂p(x)ds 曲面的面积为S=小as
定义 设 ∑ 为光滑曲面, “乘积和式的极限” k k k Sk ∑ f (ξ ,η ,ζ )Δ = n k 1 0 lim λ→ 都存在, 的曲面积分 ∫∫ Σ f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对∑ 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 函数, ∑ 叫做积分曲面. M ρ( , , )d xyz S Σ = 曲面形构件的质量为 ∫∫ 曲面∑的面积为 S S d Σ = ∫∫
·积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续， 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若∑是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面，∑2，则有 rs-sro.ds 对面积的曲面积分与对孤长的曲线积分性质类似
• 对积分域的可加性. , , Σ1 Σ 2 则有 1 2 f ( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz S f xyz S f xyz S Σ ΣΣ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 若∑ 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 则对面积的曲面积分存在. • 积分的存在性. 若 f (x, y,z)在光滑曲面∑ 上连续
二、对面积的曲面积分的计算法 定理设有光滑曲面 卫：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy ∫化，乃)在∑上连续，则曲面积分 ∬fc八)ds存在，且有 .ds ∬fx1+x+,2x,ad 2==(x,y) dS=1+z2(x.y)+=,2(x,y)dxdy
O x y z 定理 设有光滑曲面 Dxy Σ : z = z(x, y), (x, y)∈ f (x, y, z) 在 ∑ 上连续, 存在, 且有 (, , ) Dx y = f xy ∫∫ z x y z x y x y x y 1 ( , ) ( , )d d 2 2 + + 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 Dxy Σ f xyz S ( , , )d Σ ∫∫ f ( , , )d xyz S Σ ∫∫ z(, ) x y z = zxy (, ) 2 2 1 ( , ) ( , )d d x y dS z x y z x y x y =+ +