南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第五章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法及分部积分法

第三节定积分的换元法及分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

第三节 定积分的换元法及分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

一、定积分的换元法 定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=o()满足条件： (1)p(t)在[a,B]上单调且具有连续的导数 (2)p(x)=a,p(B)=b 定积分的换元公式 则有∫fx)dx=∫2flo】o')dt 注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限； 2.不必变量还原

（1） ( )t 在 [ , ]   上单调且具有连续的导数 定理 1：设函数 f x( )在区间[ ] a b, 上连续，函数x t ( )满足条件: （2）    ( ) , ( )   a b 一、定积分的换元法 则有 ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt        定积分的换元公式 注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限； 2.不必变量还原

一、定积分的换元法 注记1：(1)求定积分时换元必换限.不必再返回到原来的变量， 直接往下计算并运用牛顿一莱布尼兹公式便可得到定积分的结果· (2)不换元时不换（上下）限 注记2：当B<a时，公式仍成立

一、定积分的换元法 注记 1：（1）求定积分时换元必换限. 不必再返回到原来的变量， （2） 不换元时不换(上下)限 直接往下计算并运用牛顿—莱布尼兹公式便可得到定积分的结果 . 注记 2：当  时，公式仍成立

例1计算Va2-x2dk(a>0) (对应第二类换元法) 解 a-xds =as acost- =cosd-号0+eos2nh si. 提示： a2-x2-a2-a2sin2t=acost,dx=acostdt. 当0时0，当xa时1-号

     2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t 解 例 1 计算  a a x dx 0 2 2 (a>0) 例1 提示： a x a a sin t acost 2 2 2 2 2 a x  a a sin t acost  dxacostdt  2 2 2 2 2      dxacostdt      2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a           2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a            2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t      2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t 当 x0 时 t0 当 xa 时 2  t  （对应第二类换元法）

例2 计算cos xsin xdx. (对应第一类换元法) 解臣cos xsinxx=-径cosdcosx sg-rah=可rdi=2r,=石 或径cos'xsin xd=-疗cos3 xdcosx =片co明=言os号+后ow0 6 提示 换元一定要换积分限，不换元积分限不变

例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0   例2  解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6       x  6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6       x  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      或 提示： 当 x0 时 t1 当 2  x 时 t0 提示： 换元一定要换积分限不换元积分限不变 （对应第一类换元法）