第七节斯托克斯公式 一、斯托克斯公式
第七节 斯托克斯公式 一、斯托克斯公式
斯托克斯(1819-1903) 英国数学物理学家.他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一，其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法，在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程（后称之 为纳维-斯托克斯方程)，1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷 出版
斯托克斯(1819-1903) 英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版
一、 斯托克斯公式 定理1设光滑曲面∑的边界「是分段光滑曲线，∑的 侧与「的正向符合右手法则，P,Q,R在包含Σ在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 )vd--o) =dx+ 80 dxdy -fPdx+Qdy+Rdz (斯托克斯公式) 斯托克斯公式的实质： 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系
一、 斯托克斯公式 定理1 设光滑曲面Σ 的边界Γ 是分段光滑曲线, x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R d d d d ⎟d d ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ ∫∫Σ ∫ = + + ΓPd x Qd y Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, Σ 的 侧与 Γ 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含Σ 在内的一 则有 斯托克斯公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系
证：情形1.∑与平行z轴的直线只交于 一点，设其方程为 :z=f(x,y),(x,y)∈Dxy 为确定起见，不妨设∑取上侧 则fPdx=fePx,yc.)dx -ody刘 -n,g得d 号2ksa的
y z x Σ O Γ 证: 情形1. Σ 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y Σ : z = f (x, y), (x, y)∈ n 为确定起见, 不妨设Σ 取上侧. Dx yC 则 ∫Γ Pd x ∫ = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y Dx y y ( , , ( , ))d d ∫∫ ∂∂ = − [ ] x y y z z P y P Dx y d d ∂∂ ∂∂ + ∂∂ = −∫∫ [ f ] S z P y P y cosγ d Σ ∂∂ + ∂∂ = −∫∫ (利用格林公式)
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2 2 1 1 cos , x y f f γ + + = cos , 2 2 1 x y y f f f + + − β = cos cos y f β γ = − y z x Σ O Γ n D x y C 因此 [ ] S z P y P P x cos d cos cos d γ γ β Γ Σ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∫ ∫∫ [ ] S y P z P cos β cos γ d Σ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∫∫ x y y P z x z P d d d d ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∫∫Σ