第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 dP 若4n≥0，则称∑山n为正项级数.（如调和级数，p颇数） n=l 定理1正项级数∑山收敛的充分必要条件是：它的 n=l 部分和数列{sn}有界. 证“必要性”若∑山收敛，则{，}收敛，故有界 n= “充分性”由u,≥0，所以部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界，故{sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=1
一、正项级数及其审敛法 若 ≥ 0, u n ∑ ∞ n = 1 u n 定理 1 正项级数 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛的充分必要条件是：它的 部分和数列{ }n s 有界 . 若 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛 , 0 , n u ≥ 所以部分和数列 有界, 故 ∑ ∞ n = 1 又已知 从而 u n 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证 “必要性 ” “充分性 ” 由 则{ }收敛, s n { } s n { } s n { } s n （如调和级数, p级数 ）
定理2（比较审敛法） 设立，和n都是正项级数且usl,2, (1)若收敛，则.收敛（大的收敏，小的也妆蚊） (2)若∑山n发散，则∑发散（小的发散，大的也发散） 证(1)设级数∑v收敛，其和为o,则级数∑4n的部分和 SmFu1+l2+··+un≤y1+v2+··+yn≤o(n=1,2,）) 即部分和数列{s}有界，因此由定理1级数∑u,收敛 (2)反证法：利用(1)的结论
证 即部分和数列{s 因此由定理1级数∑un收敛. n}有界， ≤v1+v2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v s n≤σ (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), n=u1+u2+ ⋅ ⋅ ⋅ +un （1）设级数∑vn收敛, 其和为σ, 则级数∑un的部分和 （2）反证法：利用（1）的结论. 定理2(比较审敛法) 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤vn (n=1, 2, … ). （1）若 ∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则∑ ∞ n=1 un 收敛; （2）若 ∑ ∞ n=1 un发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散. （大的收敛，小的也收敛） （小的发散，大的也发散）
定理2（比较审敛法） 设，和上n都是正项级数且us.l,2, = (1）若收敛，则收敛（大的收做，小的也收纹） (2)若，发散，则2发散（小的发散，大的也发散） 推论 设2山n和之yn都是正项级数，且≤wk>0,n≥N n=l 若收敛，则收敛若山发散，则y发散
定理2(比较审敛法) 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤vn (n=1, 2, … ). （1）若 ∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则 ∑ ∞ n=1 un收敛; （2）若 ∑ ∞ n=1 un发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散. （大的收敛，小的也收敛） （小的发散，大的也发散） •推论 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤kv n(k>0, n≥N). 若∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则∑ ∞ n=1 un 收敛; 若∑ ∞ n=1 un 发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散
例1讨论p级数1++1 +…+1+常数p>0) 2P 3P 的敛散性。 正项级数 解(1)若p≤1，因为对一切n∈Z, 0 。1 而调和级数∑ 发故，由比较审敛法可知p级数》 发散
例1 讨论 p 级数 + p + p +"+ p +" n1 31 21 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解（1）若p ≤1, 因为对一切 , + n∈ Z 而调和级数∑ ∞ =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数∑ ∞ =1 1 n p n n 1 ≥ 发散 . 发散 , p n 1 正项级数