二、函数展开成幂级数 「直接展开法 一利用泰勒公式 展开方法 (间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间(-R,R内limR,(x)是否为 0
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函 数 f ( x )展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 ( － R, R) 内 lim R ( x ) n n → ∞ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开
例1将函数f(x)=e'展开成x的幂级数 解 fm(x)=e,fm(0)=1(n=0,1,),故得级数 n 1+x+ +++ 十 213 n！ 其收敛半径为 R=lim =十00 对任何有限数x,其余项满足 R,(x)= e n→o0 (n+1)月 (5在0与x之间) 故el++2++++xe+网 1213
例1 将函数 x f ( x ) = e 展开成 x 的幂级数. 解 ( 0 ) 1 ( 0,1, ), f ( n ) = n = " 1 其收敛半径为 = + ∞ 对任何有限数 x , 其余项满足 R n ( x ) = ξ e ( n + 1 )! n + 1 x x < e ( 1 )! 1 + + n x n 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x = + + 2 + 3 + " + x n + " n x x x → ∞ = n R lim ! 1 n ( 1 )! 1 n + n → ∞ 0 x ∈ ( − ∞,+ ∞ ) (ξ 在 0 与x 之间 ) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x + " + x n + " n! 1 ( ) e , 故得级数 ( n ) x f x =