第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例：变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) 在xOy平面内从点A沿光滑曲线孤L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W y 恒力沿直线所作的功 F W=FAB cos0 A B =F.AB
一 、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 W = F AB cosθ 恒力沿直线所作的功 动过程中变力所作的功W. = F ⋅ AB A B F θ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) o x y A B L
1)“分割” F(5,n） 把L分成n个小孤段，F沿 MM,所做的功为△W,则 L/MAx M, i=1 2)“近似代替” 有向小孤段M,-M,用有向线段M,-M,=(△x,△y) 近似代替，在MM,上任取一点(5，n),则有 AW,≈F(51,7,)M-M =P(5,7,)△x,+Q(5,7)△y
1) “分割”. 2) “近似代替” = + P(, ) ξii i ii i η ξη ΔxQ y (, )Δ F 沿 1 (, ) ΔW F MM i ii i i ≈ ⋅ ξ η − 把 L 分成 n 个小弧段, 所做的功为 , ΔWi 1 n i i W W = = Δ ∑ Mi i −1M 则 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 Δxi i Δy (, ) F i i ξ η G 有向小弧段 (, ) i i = Δ Δ x y 近似代替, ( , ), i i ξ η 则有 用有向线段 在 上任取一点 Mi i −1M Mi i −1M Mi i −1M i Δx
3)“求和” W≈ ∑[P(5,n)△x+Q5,n)△y 4)“取极限” W lim 2)0 ∑[P(5,7,)△x+05,7)△y] i=l (其中入为n个小孤段的 F(5,n） 最大长度) /Mi-Ax A
3) “求和” 4) “取极限” 1 n i W = ≈∑ 0 1 lim n i W λ→ = = ∑ (其中λ 为 n 个小弧段的 最大长度) o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i Δx i Δy (, ) F i i ξ η G [P(, ) ξη ξη ii i ii i ΔxQ y + (, )Δ ] [P(, ) ξη ξη ii i ii i ΔxQ y + (, )Δ ]
2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 孤，函数P(x,y)、Qx,y)在L上有界.若对L的任意分割 和在局部孤段上任意取点，极限 Im2P(E,WA作Ax达 λ→0 总存在，称此极限为函数P(x,y)在有向曲线孤L上对 坐标x的曲线积分. 类似地，如果板限m主05M0xd 101 总存在，称此极限为函数Qx,y)在有向曲线弧L上对 坐标y的曲线积分
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 和在局部弧段上任意取点, 极限 函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有界. 若对L的任意分割 总存在, 称此极限为函数P(x, y)在有向曲线弧L上对 坐标x 的曲线积分. i i i n i P Δx → = lim∑ ( , ) 1 0 ξ η λ ∫LP(x, y)dx =记作 类似地，如果极限 在有向曲线弧L上对 i i i n i Q Δy → = lim∑ ( , ) 1 0 ξ η λ ∫LQ(x, y)dy 总存在, 称此极限为函数Q(x, y) = 记作 坐标y的曲线积分. 类似地，如果极限 i i i n i Q Δy → = lim∑ ( , ) 1 0 ξ η λ