第三节幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数
一、函数项级数的概念 设un,(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数，称 ∑n(x)=4(x)+42(x)+…+4n(x)+… n=1 为定义在区间I上的函数项级数， 对x0∈I,若常数项级数∑4，(xo)收敛，称x0为其收 n=1 敛，点，所有收敛点的全体称为其收敛域； 若常数项级数 ∑山n(x)发散，称x0为其发散点，所有 n=l 发散点的全体称为其发散域
一 、 函数项级数的概念 设 ∑ ∞ = = + + + + 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x " u x " 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 , 0x ∈ I 若常数项级数 ∑ ∞ =1 0 ( ) n n u x 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 ∑ ∞ =1 0 ( ) n n u x 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2,") n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 和函数的定义域是收敛域 S(x)= 2州 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 S,(x)=∑44(x) k=1 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim (x)=S(x),lim r(x)=0 n-→0
S(x) , 为级数的和函数 , 并写成 ( ) ( ) 1 S x u x n ∑ n ∞ = = 若用 S (x) n ( ) ( ) 1 S x u x n k n ∑ k = = 令余项 r (x) S(x) S (x) n = − n 则在收敛域上有 lim S (x) S(x) , n n = →∞ lim ( ) = 0 →∞ r x n n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 和函数的定义域是收敛域
00 例如等比级数∑x”=1+x+x2+…+x”+… n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 含清 n=0 思考 级数 — 的收敛域是 (-0,+0 n
例如 等比级数 它的收敛域是 (−1,1 ) , ∑ = + + +"+ +" ∞ = n n n x x x x 2 0 1 x x n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 思考 级数 4 1 sin n nx n ∞ = ∑ 的收敛域是 当x∈(−1,1 )时, 有和函数 (, ) −∞ +∞
二、幂级数及其收敛性 形如∑a(x-xo)”=a+a(x-x0)+a2(x-x)》2+ n=0 +an(x-o)”+ 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x0=0的情形，即 a-w+ax+0x2++a.r+ n=0 倒如，事级改立”=x<1即是此种付形 n=0
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑ ∞ = − 0 0 ( ) n n n a x x = + − + − + 2 0 1 0 2 0 a a ( x x ) a ( x x ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a ( n = 0,1," ) n 下面着重讨论 x 0 = 0 ∑ ∞ n = 0 n n a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + " + a n x n + " 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 < − ∑ = ∞ = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 " + a n ( x − x 0 ) n + " 称