第七节 常系数齐次线性微分方程 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法
1 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法 第七节 常系数齐次线性微分方程
一、定义 y"+@y'+@'=0 二阶常系数齐次线性方程 y"+py'+qy=f(x) 二阶常系数非齐次线性方程 2
2 y py qy 0 方程 y py qy f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 二阶常系数 齐次线性 一、定义
二、二阶常系数齐次线性方程解法 父”+py'+=0二阶常系数齐次线性方程 设解y=e"其中r为待定常数.将其代入方程，得 (r2+pr+q)ex=0ex≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根 2=p±VD2-4 2
3 rx y e 将其代入方程, ( )e 0 2 rx r pr q e 0, rx 故有 0 2 r pr q 2 4 2 1,2 p p q r 特征根 y py qy 0 二阶 设解 得 特征方程 常系数齐次线性方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数
设解y=e其中r为待定常数， 特征根的不同情况决定了方程 y”+py+y=0的通解的不同形式. r2+pr+q=0 特征方程 ※有两个不相等的实根（△>0） 5=+g,=-p-4 2 两个线性无关的特解 y1=enx,v2 =cax, 当 ≠常数 得齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x. 4
4 ※ , 2 4 2 1 p p q r , 2 4 2 2 p p q r e , 1 1 r x y e , 2 2 r x y 两个 特解 y ( 0) y py qy 0 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 0 2 r pr q 特征方程 r1x e C2e . r2x C1 2 1 y y 常数 线性无关的 得齐次方程的通解为 rx 设解 y e 其中r为待定常数
设解y=e其中r为待定常数， ※有两个相等的实根（△=0） =3=一 特解为》=e, 一 2≠常数 2 yi 设y2=(x)e,其中u(X)为待定函数. 将y2,2,y%代入到y”+y'+⑩y=0.化简得 W"+(2r+pW'+(2+pr+w=0, =0 =0 知W”=0,取u(x)=x,则y2=xenx, 得齐次方程的通解为y=Cex+C2xex =(C1+C2x)eax. 5
5 ※有两个相等的实根 e , 1 1 r x , y 2 1 2 p r r ( 0) 一特解为 ( )e . 1 1 2 r x C C x 将 y2 , y2 , y2 代入到 (2 ) ( ) 0, 1 2 u r1 p u r1 pr q u u 0, u(x) x, e , 1 2 r x y x y2 常数 1 2 y y y py qy 0. 化简得 0 0 设 u(x)e , 1 r x 知 取 则 y r1x e r x x 1 e 得齐次方程的通解为 C1 C2 rx 设解 y e 其中r为待定常数. 其中u(x)为待定函数