第六节 高斯公式 格林公式推工高斯公式 一、高斯公式
第六节 格林 公式 推广 高斯 公式 一、高斯公式 高斯公式
高斯(1777-1855) 德国数学家、天文学家和物理学家， 是与阿基米德，牛顿并列的伟大数学家 他的数学成就遍及各个领域，在数论、 高斯，C.F 代数、非欧几何、微分几何、超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献，他还十分重视数学的应用，在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎，恪守这样的 原则：“问题在思想上没有弄通之前决不动笔
高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔
牛顿菜布尼茨公式：心F'(x)=Fb)-F(a 格林公式： 08部a-P临+Q购 高斯公式： 则张+号+瓷n-Pwk+Quk+na 三者共性（实质)： 把内部问题转化为边界问题来处理
∫∫ ∫ = + ∂∂ − ∂∂ L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 牛顿莱布尼茨公式： F (x)dx F(b) F(a) b a ′ = − ∫ 格林公式： 三者共性（实质）： 把内部问题转化为边界问题来处理. ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 高斯公式：
一、高斯(Gauss)公式 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成， ∑的方向取外侧，函数P,2,R在2上有连续的一阶偏导 数，则有 兰+器dd-ua+0udr4d (Gauss公式) 下面先证： 0川器dd:-∯4d
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1 设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲 Ω 上有连续的一阶偏导 ddd PQR x y z xyz Ω ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎜ ⎟ + + ∫∫∫⎝ ⎠ ∂∂∂ P y z Q z x Rx y d d d d dd Σ = ++ w∫∫ 函数 P, Q, R 在 面Σ 所围成, 数 , 则有 (Gauss 公式) Σ 的方向取外侧, ddd R x y z z Ω ∂ ∫∫∫ ∂ Rd dx y Σ =w∫∫ 下面先证:
证明：设2：z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(,y)∈Dy 称为XY-型区域，∑=1U2U3,1:z=1(x,y), 卫2：z=z2(x,y),则 22 -dy 2 -(Rx,y2,) -R(x,y,(x,y))dxdy 月Rdxdy=-(tj+j,)Rdxdy Rx..(dxdy-)dxdy
Σ 2 Σ 3 Σ1 z y x Dxy O Ω { R(x, y, ) − R(x, y, ) }d x d y : ( , ), 1 1 Σ z = z x y 证明: 设 Dxy Ω : z1(x, y) ≤ z(x, y) ≤ z2 (x, y), (x, y)∈ , Σ = Σ1 ∪ Σ 2 ∪ Σ 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 ∫ ∂∂ ∫∫ = Dx y ( , ) 2z x y ( , ) 1z x y ∫∫ΣRd x d y ∫∫ = Dx y ( ∫∫ = Σ 2 x y z z R d d d ∫∫∫ ∂∂ Ω d x d y ∫∫ + Σ1 ∫∫ + Σ 3 )Rd x d y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2 Σ z = z x y 则 R(x, y, )dxdy ∫∫ − Dx y ∫∫ = Dx y ( , ) 2z x y R( ) x, y, ( , )d xdy 1z x y