第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的概念 三、微分方程的阶 四、微分方程的解
第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的概念 三、微分方程的阶 四、微分方程的解
一、背景 1.几何问题： 例1： 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜 率为2x,求这曲线的方程 2.观察： （1)少=2x (2) d 3.发现： -2x与 d -g都是含有未知函数导数的方程
例 1： 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M x y ( , )处的切线的斜 1.几何问题： 率为2x 求这曲线的方程 一、背 景 2.观察： （1） x dx dy 2 （2） 2 2 d x g dt 3.发现： x dx dy 2 与 2 2 d x g dt 都是含有未知函数导数的方程
二、有关的概念 1:微分方程： 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫微分方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程， 注记1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的 导数或微分必须出现
二、有关的概念 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 1：微分方程 注记 1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的 导数或微分必须出现
二、有关的概念 2. 微分方程的阶： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶， 一般n阶微分方程： F(x,y,,y)=0 或 y=f(x,y,y,...y(D)
二、有关的概念 2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 一般 n 阶微分方程 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y 或 ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y f x y y y
3.微分方程的解： 满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式） 叫做该微分方程的解 确切地说，设函数y=p(x)在区间1上有n阶连续导数，如果在区间1上， F(x,0,p'(x),,p”(x)=0 那么函数y=p(x)就叫做微分方程F(x,y,y,,y)=0在区间1上的解
满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式) 叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y x ( )在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 3. 微分方程的解 ( ) ( , , ( ), , ( )) 0 n F x x x 那么函数 y x ( ) 就叫做微分方程 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y 在区间 I 上的解