第八章入一矩阵S1入一矩阵S4矩阵相似的条件S2入一矩阵的S5矩阵相似的条件标准形s6若当(Jordan）标准形S3不变因子的理论推导小结与习题
§2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 §5 矩阵相似的条件 小结与习题 第八章 λ─矩阵
$ 8.3不变因子一、行列式因子二、 不变因子88.3不变因子A
§8.3 不变因子 一、行列式因子 二、不变因子 §8.3 不变因子
一、行列式因子1. 定义：设一矩阵A(a)的秩为r，对于正整数k，1≤k≤r,A(a)中必有非零的k级子式，A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 D()，称为A(a)的k阶行列式因子注:若 秩(A(a))=r，则 A(a)有 r个行列式因子,88.3不变因子KV
§8.3 不变因子 1. 定义： 一、行列式因子 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的 A( ) 中必有非零的 k 级子式， A( ) 中全部 k 级子式 设 －矩阵 A( ) 的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 , k r 若 秩 ( A r ( ) ) = ，则 A( ) 有 r 个行列式因子
2.有关结论1)（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子。（即初等变换不改变一矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，兀一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。设A(2)经过一次初等变换变成B(2)，f(2)与g(a) 分别是 A(a)与 B(a)的k级行列式因子.下证f=g，分三种情形：88.3不变因子区区
§8.3 不变因子 行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( ) 经过一次初等变换变成 B( ) ， f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k级行列式因子． 下证 f g = ，分三种情形：
① A(2)[i]>B(a)。此时 B(2) 的每个k级子式或者等于 A(a) 的某个k级子式，或者与 A(2)的某个k级子式反号，因此，f(a)是B(a)的k级子式的公因式，从而f(a)lg(a)② A(a)[i)]>B(a)。 此时 B(a) 的每个k 级子式或者等于 A(a)的某个k级子式，或者等于A(a)的某个k 级子式的c倍．因此，f(a)是 B(a)的k级子式的公因式，从而f(a)lg(a).88.3不变因子区区
§8.3 不变因子 k 级子式反号. 公因式， 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者与 A( ) 的某个 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 , ( ) ( ). i j ① A B ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). i c A B ② ⎯⎯⎯→ k 级子式的c倍. 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A( ) 的某个 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 公因式， 从而 f g ( ) ( ).