1级数的收敛性 1 1 1 <<E. 所以该级数收敛 (4)取e0=1对任一N,取m=2N,p=m,则m>N,且 (m+k) k 所以此级数发散 (m+p)+(m p)2>2D p)2m√22√2 证明级数∑un收敛的充要条件是:任给正数e,有某自然数 N,对一切n>N总有 …+wn|<e 证必要性若∑an收敛,则由柯西准则知:任给e>0,存在 自然数N1,使当n>m>N1时, 取N≥N1+1对任何n>N,有 aN+uN+1+……+un|< 充分性若任给>0,存在某自然数N,对一切n>N,总有 则对一切n>m>N,都有 uN+ uN+1+ +…+tm)l≤wN+uN+1+…+un|+|wN+uN+1+ 由柯西准则知∑un收敛 9举例说明:若级数∑xn对每一个固定的自然数p满足条件 lim(un+un+1+ .+uu+)=0
第十二章数项级数 则此级数仍可能不收敛 解例如级数∑1,对每一个自然数p, n+1+…+1-)=limn+m1 lim(1 1 n t p n+1 但级数∑发散 10.设级数∑n满足:加括号后级数∑(an+1+…+an1,)收敛 (n1=0),且在同一括号中的n+1,n+2,…,n4n符号相同证明 ∑un亦收敛 证明:设级数∑an的部分和为Sn 则级数∑(xn+…+1,)=∑A,并设其部分和为T 已知∑A收敛,可设址mT 则T=A1 又yn∈N,3k∈N,使得n+1≤n≤nk+1(n1=0)且由已知 Ak中的项符号相同 所以级数∑an的部分和Sn总介于T-1与T之间 即以下两不等式必有其一成立 ()Tk-1≤Sn≤Tk )T≤Sn≤Tk 又imTk= lim TH-1=S 因此imSn=S,故∑an收敛
§2正项级数 §2正项级数 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性 (1)∑n212;(2m3:()2 (4)>)an);(5)∑(1-as1y );(6)∑ (7)2(a-1)(a>1);(8)2(mn7) (9)∑(an+an-2)(a>0); 解()由于0≤n212≤,而∑收敛,故∑12 收 敛 (2h3-x(3),∑(3)收敛故原级数收敛 (3因为1-1,而∑卫发散,故原级数发散 (4)因为、4mm2),而S1收敛,故原级数收 (5)1-cs 而∑ 2n2收敛故原级数收敛 (6)-1-1,而∑L发散,故原级数发散 (7)a=1时,部分和为0,故收敛,当a>1时 an=1 12lna+(3) a2-1=nha+113a+()~mn 而∑发散故a>1时,原级数发散
第十二章数项级数 ,(8)因为(mn)n<n(n>已)上收敛,故原级 敛 1 (9)im a+an-2 a =(lna)2(罗比塔法则) 又∑与收敛故原级数收敛 2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性 (2∑1322-12(2)2(t+12(3)2n+1) (2n15)∑2:()23n (7)∑()",(其中an→a(n→∞);an,a,b>0,且a≠b) 解(1)因“+1=x(2n+1)!!n! 2n+1 (2n-1)!!(n+1)! →2(n n 故该级数发散 (2)因4N+1=n+2(n→∞),所以该级数发散 (n→∞),故该级数收敛 (4)因“=(;)→1(n→∞),故该级数收敛 (5因n=号m2→(n→),故该级数收敛 3(-1)→2(n→∞),而>1,由比式判别法此 级数发散 (7)因n=b→(n→∞),从而b>a时,该级数发散;b<a 时,该级数收敛,a=b时敛散性不定 3.设∑un、∑vn为正项级数,且存在正数No,对一切n>N