第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质三、等价无穷小的替换规则四、练习
第七节 无穷小的比较 二、等价无穷小的性质 一、无穷小的比较 三、等价无穷小的替换规则 四、练习
一、无穷小的比较无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一样，有时差别很大例如，当x→0时x,2x,x-者都是无穷小量，但它们趋于0的速度却不一样0.10.010.5x22x一0.20.02心..→010.250.010.0001显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多目录上页下页返回结束机动
一、无穷小的比较 无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量 趋于 0 的速度却不一样，有时差别很大. 例如，当 x → 0 时， x x x ,2 , 2 都是无穷小量，但它们 趋于 0 的速度却不一样： x 1 0.5 0.1 0.01 2x 2 1 0.2 0.02 x 2 1 0.25 0.01 0.0001 显然，x 2 比 x 与 2x 趋于 0 的速度快得多. .→ 0 .→ 0 .→ 0
定义设α，β是自变量同一变化过程中的无穷小若 lim =0, 则称 β是比α 高阶的无穷小，记作x→*aβ=0(a) lim=8, 则称β是比α若低阶的无穷小x-*aL=C ±0, 则称 β是α 的同阶无穷小;若limx→*aβ若lim=C0,则称β是关于α的k阶无穷小;d.X→*=1,则称 β是α 的等价无穷小, 记作α~β若limx→*a目录上页下页返回结束机动
lim 0, k x β = C → α 定义. lim 0, x β = → α 若 则称 是比 高阶的无穷小, lim , x β = → α 若 若 若 lim 1, x β = → α 若 lim 0, x β = C → α 设 α, β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 β = ( ) O α α ~ β
例如，sinxlimxx-0sinxtanxlimlimlimXx0xocosxx>0xcosxarcsinxlimlimxx0x0cosx所以当x→0时，有sinx~x;tanx~x;arcsinx ~ x.上页目录下页返回结束机动
所以， lim 0 sin 1, x x = → x lim lim lim 0 0 0 tan sin 1 1, x x x cos cos x x = = = → → → x x x x lim lim 0 0 arcsin 1 1, x x cos x = = → → x x sin ~ ; x x tan ~ ; x x arcsin ~ . x x 当 x → 0 时，有 例如
又如，X-222X2sin2sin1-cosx2limlim= lim2x-02x-0七x0大X22xXsinsin22limlimXXx-0x->022所以当 x→0 时，1-cosx~2上页目录下页返回结束机动
当 时， lim − 0 2 1 cos 1 2 x x x → lim 2 2 0 2sin 2 2 2 x x = → x = 1, 所以， x → 0 − 1 2 1 cos ~ . 2 x x 又如 ， lim 2 2 0 sin 2 2 x x = → x lim 2 0 sin 2 2 x x = → x lim 2 0 sin 2 2 x x = → x