泰勒中值定理若f(x）在包含xo的某开区间（a,b）内具有直到n+1阶的导数,则当 xE(αa,b)时,有+f"(xo)(x)= f(xo) + f'(xo)(x - xo) +x-x2!Xo(x - xo)"+ R,(x)1n!f(n+)(E)(x -x0)n+1其中R,(x)=（在X。与x之间）(n +1)!公式①称为f(的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项目录上页下页返回结束机动
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R ( x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间
注意到R,(x) = o[(x- xo)n]在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为J()= (0)+ (x0)(x-x0) +"(c)+：(x-xo2!Xo(x- xo)" +o[(x - xo)"]+4n!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano）余项*可以证明f(x）在点xo有直到n阶的导数④式成立目录上页下页返回结束机动
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [ ( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立
f"(xof(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+·(x -xo)2！(nx- 0)*+ (()Xo)n+1(x- xo)Xn!(n+l)!（在xo与x之间）特例：(1）当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理f(x)= f(xo) + f'()(x - xo)（在Xo与x之间）(2）当n=1时，泰勒公式变为f"(E)f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+x-Xo2（在xo与x之间） f(x)~f(xo)+ f'(xo)(x-xo)可见dfR(x)=(5)误差(x-xo)2（在xo与x之间）2!上页目录下页返回结束机动
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2 ! ( ) x x f − + 可见 误差f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间
又 xo = 0 ,= 0 x (0<0<1),则有在泰勒公式中若取(n) (0)f"(O)福nf(x)= f(O)+ f'(0)x -人2!n!f(n+1 (0 x)gn+(n+l)!）公式，称为麦克劳林（Maclaurin由此得近似公式(0f(x) = f(O) + f'(o)x +2！n!若在公式成立的区间上f(n+1)(x）≤M.则有误差估计式Mn+1[R,(x)|≤?(n+1)目录上页下页返回结束机动
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0) + f (0) x 2 + 2 ! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 f ( x) f (0) + f (0) x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2 ! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 由此得近似公式