lim △={ lim lim △Vx △x-0△X OuAr-0△x OyAr→0△x lim o(p) △x-→0 △x Oz Ou . Oz Ov Ou Ox 8y Ox 故 Oz Oz Ou ， Oz 0v 8x Ou Ox Oy Ox Oz Oz Ou 同理可证 L Oz Ov ay Ou 8y
8 0 0 0 0 lim lim lim ( ) lim x x x x x x x z z u z v x u x v x o x → → → → = + + z u z v u x v x = + 故 z z u z v x u x v x = + 同理可证 z z u z v y u y v y = +
复合关系图 一条链之间依次求导相乘；各条链之间求导后逐项相 加。 推论1设函数u=p(x,y),v=(x,y),w=r(x,y)在(x,y)点 处具有偏导数，函数z=f(u,y,w)在对应的点(u,y,w)处具有 连续偏导数，则复合函数z=f((x,y),(x,y),r(x,y》在 (x,y)点处有关于x,y的偏导数，且有 Oz Oz ou Oz Ov Oz Ow Ox Ou ax Ov ax Ow Ox 9
9 复合关系图 u x z v y 一条链之间依次求导相乘；各条链之间求导后逐项相 加。 推 论 1 设函数u x y v x y w r x y = = = ( , ), ( , ), ( , )在( , ) x y 点 处具有偏导数，函数z f u v w = ( , , )在对应的点( , , ) u v w 处具有 连续偏导数，则复合函数 z f x y x y r x y = ( ( , ), ( , ), ( , )) 在 ( , ) x y 点处有关于x y, 的偏导数，且有 z z u z v z w x u x v x w x = + +
6z Oz Ou oz Ov Oz Ow ay ou dy av ay Ow Oy 复合关系图 说明三条链，三项之和，每条链依次求导相乘。 推论2设函数u=p(x),v=(x)在点可导，z=f(u,v)在 对应的(u,v)点具有连续偏导数，则复合函数 z=f(p(x),(x)》在点可导，这时中对的导数称为全导 dz Oz du oz dv 数，记为你，且有左品出 dz Oy dx 复合关系图 10
10 z z u z v z w y u y v y w y = + + 复合关系图 说明 三条链，三项之和，每条链依次求导相乘。 推论 2 设函数u x v x = = ( ), ( )在x 点可导，z f u v = ( , )在 对 应 的 ( , ) u v 点 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f x x = ( ( ), ( )) 在x 点可导，这时z 对x 的导数称为全导 数，记为dz dx ，且有dz z du z dv dx u dx v dx = + 复合关系图 u z x v u x z v w y
推论3设函数u=p(x,y)在(x,y)点具有偏导数，z=f(u) 在对应的u点具有导数，则复合函数z=f(p(x,y)在(x,y) 点处具有关于x,y的偏导数，且有 0z dz ou 8x du ax oz dz ou 8y du Oy 复合关系图 Z-V 11
11 推论 3 设函数u x y = ( , )在( , ) x y 点具有偏导数，z f u = ( ) 在对应的u点具有导数,则复合函数z f x y = ( ( , )) 在( , ) x y 点处具有关于x y, 的偏导数，且有 z dz u x du x = z dz u y du y = 复合关系图 x z u y
推论4设函数y=p(x)在x点处可导，函数z=f(x,y)在相 应地(x,y)点处具有连续的偏导数，则复合函数z=f(x,(x)》 在x点可导，这时：对x的导数称为全导数，记为，且有 dx dz oz oz dy dx ox dy dx 复合关系图 注意亚是全导数，是将z看作一元复合函数的全部的变化 dx 率，三是z=fx,)时，对x的偏导数，是函数的部分变化率。 Ox 12
12 推论 4 设函数y x = ( )在x点处可导，函数z f x y = ( , )在相 应地( , ) x y 点处具有连续的偏导数,则复合函数z f x x = ( , ( )) 在x点可导,这时z对x的导数称为全导数，记为dz dx ，且有 dz z z dy dx x y dx = + 复合关系图 x z x y 注意dz dx是全导数，是将z看作一元复合函数的全部的变化 率, z x 是z f x y = ( , )时,对x的偏导数,是函数的部分变化率