s10.不变子群、商群10.1定义10.2例子10.3等价条件10.4商群
§10.不变子群、商群 • 10.1 定义 • 10.2 例子 • 10.3 等价条件 • 10.4 商群
10.1定义这一节单要讲到一种重要的子群，就是不变子群给了一个群G，一个子群H，那么H的一个右陪集Ha未必等于H的左陪集aH，这一点我们在上一节的例2里已经看到
10.1 定义 这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群． 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪 集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到． G H H Ha H aH
定义一个群G的一个子群N叫做一个不变子群,假如对于G的每一个元α来说,都有aN=Na注1.一个不变子群N的一个左(或右)陪集叫做N的一个陪集注2．aN=Na意味着：an=na吗？反过来呢？注3.aN=Na在元素间意味着什么？注4.不变子群又称为正规子群
一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么? 不变子群又称为正规子群 N N aN Na = an na = aN Na = 注1. 注2. 注3. 注4. 定义 一个群 的一个子群 叫做一个不变子 群,假如对于 的每一个元 来说,都有 G N G a aN Na =
10.2例子例1一个任意群G的子群G和e总是不变子群，因为对于任意G的元a来说，Ga=aG=Gea=ae=a例2C刚好包含群G的所有有以下性质的元 n，na=an,不管α是G的哪一个元证明：C是G的一个不变子群
10.2 例子 例１ 一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因 为对于任意 的元 来说， G G e G a Ga aG G = = ea ae a = = 例２ 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ， 不管 是 的哪一个元 C G n na an = a G 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明：(1）C是子群.因为eEN，所以N是非空的.又 na=an, na=an =nnza=annzna= an = n-'a= n-'ann-l = n-'nan-l = an-这就是说，N是一个子群(2）aN=Na.G的每一个元α可以同的每一个元n交换，所以Na=aN，即 N是不变子群这个不变子群℃叫做G的中心
证明: (2) . 的每一个元 可以同 的每一个元 交换，所以 ，即 是不变子群． aN Na = G a N n Na aN = N (1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 这就是说， N 是一个子群． n a an 1 1 = ， 2 2 1 2 1 2 n a an n n a an n = = 1 1 1 1 1 1 na an n a n ann n nan an − − − − − − = = = = 又 这个不变子群 C 叫做 G 的中心．