89.子群的陪集9.1子群的左陪集9.2子群的右陪集9.3子群的指数9.4拉格朗日定理在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然后由这个分类推出一个重要的定理：我们从等价关系开始
§9.子群的陪集 9.1子群的左陪集 9.2子群的右陪集 9.3子群的指数 9.4 拉格朗日定理 - 在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然 后由这个分类推出一个重要的定理．我们从等价关系开始
9.1子群的左陪集我们看一个群 G和 G的一个子群H：我们规定一个的元G中间的关系一～：α～b，当而且只当 α-beH的时候给了α和 b，我们可以唯一决定，α-"b 是不是属于 H，所以～是一个关系并且：
9.1子群的左陪集 我们看一个群 和 的一个子群 ．我们规定一个的 元 中间的关系 ： G G H G a b ，当而且只当 1 a b H − 的时候 给了 和 ，我们可以唯一决定， 是不是属于 ，所以 是一 个关系,并且: a b 1 a b − H
α'a=eH 所以 α～αα"beH=(α"b)-" =b-'aeH所以I1a~b=b~a所以IIIb~c=a~ca~b
， 所以 1 a a e H − = a a 1 1 1 1 a b H a b b a H ( ) − − − − = a b b a Ⅰ ， 所以 Ⅱ Ⅲ .所以 a b b c a c
这样，一是一个等价关系，利用这个等价关系，我们可以得到一个C的分类[a],[b],[c].....,这里[a] = (x x ~ a]称为a的等价类引理1 [a]=aH=[ah| h属于]证明：(1)VxE[a]=...=xEH(2)VxEH=......=xE[a]
G [ ] { } a x x a = x a x H [ ] x H x a[ ] 这样， 是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个 的分类: [a],[b],[c].,这里 称为a的等价类 (2) 引理1 [a]=aH={ah| h属于} 证明: (1)
～所决定的类H叫做子群的左陪集定义1由上面的等价关系由引理1左陪集既是等价类，又是子集的乘法aH由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质：aH =bH α-'beH(1)bEaH=aH =bH(2)(3)eH=H(4)aH=H台aEH或者aHnbH=O(5）任意两个左陪集aH=bH
定义1 由上面的等价关系 所决定的类 H 叫做子群的左陪集. 1 aH bH a b H − = b aH aH bH = eH H= aH H a H = aH bH = aH bH = 由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质: (1) (2) (3) (5) 任意两个左陪集 或者 (4)