S7．循环群7.1例子7.2定义7.3基本定理，7.4如何研究代数系统
§7．循环群 • 7.1 例子 • 7.2 定义 • 7.3 基本定理 • 7.4 如何研究代数系统
7.1例子例1、n次分园域U,={xx" =1)=(...)例2、整数加群Z.启示：例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2也是这个群的全体的元就都是1的乘方：这一点，假如把G的代“”来表示，就很容易看出．我们知道数运算不用十而用1m的逆元果一1一假定m是任意正整数”那么m =1+1+..+1=1o1....01=1" -m=(-1)+(-1)+.(-1)=(-1) (-1) .(-1)--这样G的俩等于零的元都是1的乘方：但0是G的单位元，照定义
7.1例子 例1、n次分园域 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 这样G的不等于零的元都是１的乘方．但０是G的单位元，照 定义 { 1} {.} n U x x n = = = 1 1 1 1 1 1 1 m m m m = + + + = = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 m m m m − − = − + − + + − = − − − = 0 1m =
7.2定义定义，若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的并且用符号三(a来表示．a叫做G的一个生成元。问题：a的任意乘方a"eG(nZ)属于G吗？...G=(a)={α"neZ)={.a-,a-",e,a,α2..，它到底包含多少个互异的元素？
定义 若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘 方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的 ，并且用符号 来表示．a叫做G的一个生成元。 G a = ( ) 7.2定义 问题: a的任意乘方 属于G吗?. ，它到底包含多 少个互异的元素? ( ) n a G n Z 2 1 1 2 ( ) { } { , , , , } n G a a n Z a a e a a − − = = =
我们再举一个重要的例，例3G包含模n的n个剩余类：我们要规定一个G的代数运算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符.(1)号来表示,规定：[a]+[b]=[a+b]首先，必须证明这样规定的“十”不会产生歧义（复习等价类[a]=-[a] [b']=[b]及剩余[类)b e[b][a]]=[a+b]照我们的规定：[αa +b]去[a. +62]，那“十”就不是如果它们的右端不一样：一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生
我们再举一个重要的例． 例3 G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的代数运 算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符 号来表示,规定： .（1） 首先,必须证明这样规定的“＋”不会产生歧义（复习等 价类 及剩余类）。 ， 那 ， 照我们的规定： .（2） 如果它们的右端不一样： ，那“＋”就不是 一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生。 . [ ] [ ] [ ] a b a b + = + ' a a [ ] ' b b [ ] ' [ ] [ ] a a = ' [ ] [ ] b b = ' ' ' ' [ ] [ ] [ ] a b a b + = + ' ' [ ] [ ] a b a b + +
(1)(2) [a]+([b]+[cD =[a]+[b+c]=[a+(b+c)] =[a+b+c]([a]+[bD)+[cl=[a+b]=[cl=[(a+b)+cl =[a+b+c][al+([b]+[cD) = ([a]+[b) +[c](3)[0] +[a] = [0 + a] =[a](4)[-al+[al=[-a+a]=[0]所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余类加群，用Z，。以n=4介绍Z，的乘法表
（1）. （2） （3） （4） 所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余 类加群, 用 。 以n=4 介绍 的乘法表 ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] [( ) ] [ ] a b c a b c a b c a b c + + = + = = + + = + + [0] [ ] [0 ] [ ] + = + = a a a [ ] [ ] [ ] [0] − + = − + = a a a a Z n Z n [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ( )] [ ] a b c a b c a b c a b c + + = + + = + + = + + [ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ]) [ ] a b c a b c + + = + +