811.同态与不变子群11.1自然同态11.2同态映射的核11.3同态基本定理11.4子群的同态像和逆像不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系：知道了这几个关系，我们才能看出不变子群和商群的重要意义
§11.同态与不变子群 • 11.1 自然同态 • 11.2 同态映射的核 • 11.3 同态基本定理 • 11.4 子群的同态像和逆像 不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端 重要的关系．知道了这几个关系，我们才能看出 不变子群和商群的重要意义．
11.1自然同态定理1一个群G同它的每一个商G/IN群同态，证明我们规定G到G/N的一个法则：β(a)=aN (aeG)这显然是G到 G/N的一个满射.并且,对于 G的任意两个元a和b来说，p(ab) = abN =(aN)(bN) = β(a)p(b)所以它是一个同态满射．证完，上述?称为自然同态
11.1 自然同态 定理１ 一个群 G 同它的每一个商 G N 群同态． 证明 我们规定 到 的一个法则 : 这显然是 到 的一个满射．并且,对于 的 任意两个元 和 来说， 所以它是一个同态满射．证完． 上述 称为自然同态. G G N ( ) a aN = ( ) a G G G N G a b ( ) ( )( ) ( ) ( ) ab abN aN bN a b = = =
由群G的一个子群可以推测整个群G的性质假如我们有一个不变子群N，就同时有两个群可以供我们利用，一个是N本身，另一个是商群G/N．现在定理1又告诉我们，G与G/N同态，这样帮助推测G的性质。在一定意义之下，定理1的逆定理也是对的
由群 的一个子群可以推测整个群 的性质．假 如我们有一个不变子群 ，就同时有两个群可以供 我们利用，一个是 本身，另一个是商群 ．现 在定理１又告诉我们， 与 同态，这样帮助推 测 的性质． 在一定意义之下，定理１的逆定理也是对的． G G N N G N G G N G
11.2同态映射的核定义假定f是一个群G到另一个群G的一个同态满射.G的单位元 e在Φ之下的所有逆象所作成的G的子集叫做同态满射的核，记为kerf,即：ker f = f-'(e)=(x|x eG, f(e) =e).记kerf=N，它有以下性质：(1）kerf=N是不变子群(2)aN =bN f(a)=f(b(3)xEaN← f(x)=f(a)(4) f(aN)=(f(a))
11.2 同态映射的核 定义 假定 是一个群 到另一个群 的一个同态 满射． 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的 的子集叫做同态满射的核, 记为 ,即: ． f G G G e G ker f 1 ker ( ) { , ( ) } f f e x x G f e e − = = = 记 ,它有以下性质: (1) 是不变子群 (2) (3) (4) ker f N= ker f N= aN bN f a f b = = ( ) ( ) x aN f x f a = ( ) ( ) f aN f a ( ) { ( )} =
证明：1.分两步1)N是子群2)α-'nαN，对于任意 αG,nεN2. aN =bN ≤a-'be N... f(a)= f(b)3.同学自行给出4.同学自行给出
证明: 1.分两步 1) 是子群 2) , 对于任意 2. 3. 同学自行给出. 4. 同学自行给出. N 1 a na N − a G n N , 1 aN bN a b N f a f b ( ) ( ) − = =