（8一9节）8 5 同态与同构5.1最初的思想5.2同态映射与性质5.3同态的代数系统5.4可单向传递的性质5.5同构的代数系统及其意义
§5 同态与同构（8－9节） • 5.1 最初的思想 • 5.2 同态映射与性质 • 5.3 同态的代数系统 • 5.4 可单向传递的性质 • 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想，如何比较两个代数系统？回忆两个三角形全等的定义：经过运动，顶点可以重合.这里涉及两个步骤：第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合：我们比较两个代数系统A和A第一,我们需要一个映射Φ：A→A；第二，这个映射还能够使“运算重合”或日：保持算.具和a)p(b) 体的说，假如和是，的两个元，那必·b)都有意义，都是的元.保持运算即下面等式成立：d(aob) =Φ(a)p(b)
5.1最初的思想 • 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 和 . 第一,我们需要一个映射 ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 体的说,假如 和 是 的两个元,那么 和 都有意 义,都是的元.保持运算即下面等式成立: A A : A A → a b A ( ) a b ( ) ( ) a b ( ) ( ) ( ) a b a b =
·换一种表示，假定在Φ之下的像，x→x，上面的等式即：aob=aob
a b a b = • 上面的等式即: x x → • 换一种表示，假定在 之下的像
5.2同态映射与性质定义与例子定义1一个A到A的映射称为对于代数运算。和的同态映射,假如,Va,be A,都有:d(a b) =d(a)p(b)注：同态映射简称为态射A=[所有整数},A的代数运算是普通加法·A=(1,-1),A的代数运算是普通乘法
5.2 同态映射与性质 注: 同态映射简称为态射. • ＝{所有整数}, 的代数运算是普通加法. • , 的代数运算是普通乘法. A A A = − {1, 1} A • 定义1 一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, ,都有: A A a b A , ( ) ( ) ( ) a b a b = ⚫ 定义与例子
·例1证明 Φ：α→1（α是A的任一元)是一个到的同态映射．证明...例2 :若是偶数a→l,若是奇数a→-l,·证明:是一个A到A的满射的同态映射：诱臀α显是晟数到A的满射.对于A的任意两不数a霜6莱说，分兰种情况：（3）若a和都数么ab也是偶数Φ(a)=1 , (b)=1, Φ(a+b)=1所以，Φ(a+b)=Φ(a)p(b)
• 例1 证明 ( 是 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 . 1 : 1 a → a A • 例2 : , 若是偶数 , 若是奇数 • 证明: 是一个 到 的满射的同态映射. 2 a →1 a → −1 2 A A • 证明: 显然, 是 到 的满射.对于 的任意两 个整数 和 来说,分三种情况: 2 A A A a b • (1)若 , 都是偶数,那么 也是偶数 • , , • 所以, a b a b + 2 ( ) 1 a = 2 ( ) 1 b = 2 ( ) 1 a b + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b a b + = • (2)若 a , b 都是奇数. • (3)若 a 和 b 奇偶性相反