S3.除环和域3.1除环与域的定义3.2例子3.3四元除环（Quaternions）
§3. 除环和域 ◼ 3.1 除环与域的定义 ◼ 3.2 例子 ◼ 3.3 四元除环(Quaternions)
3.1除环与域的定义例1全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说显?然是一个环。这个环的一个任意元非零元a可逆除环和域就是刻画这一类代数系统例2R只包括一个元a，加法和乘法是：a+a=a, aa=aR显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个逆元，就是的本身。除环和域的定义要排除这一种极端情况
例1 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法 来说显 然是一个环。这个环的一个任意元非 零元a可逆.除环和域就是刻画这一类代数系统. 例2 R只包括一个元a，加法和乘法是： a+a=a, aa=a R显然是一个环。这个环R的唯一的元有一个逆 元，就是的本身。除环和域的定义要排除这一 种极端情况. 3.1 除环与域的定义
3.1 除环与域的定义定义1一个环R叫做一个除环，假如R至少包含一个不等于零的元R有一个单位元2.R的每一个不等于零的元有一个逆元3注：这个定义的起点是环，如果以集合为起点呢？定义1’一个至少含两个元素的集合R叫做一个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且R是一个加法群；R*=R/0是乘法群2两个分配律成立，3
◼ 定义 1 一个环R叫做一个除环，假如 1. R至少包含一个不等于零的元； 2. R有一个单位元； 3. R的每一个不等于零的元有一个逆元。 注: 这个定义的起点是环,如果以集合为起点呢? ◼ 定义 1’ 一个至少含两个元素的集合R叫做一 个除环，假如:R上有加法和乘法两种运算,且 1. R是一个加法群； 2. R*=R/{0}是乘法群； 3. 两个分配律成立。 3.1 除环与域的定义
定义一个交换除环叫做一个域例3R=（所以复数对（α,β））。这里(α1,β)=(α2,β2），当而且只当 α=α2,β =β2的时候。R的加法和乘法是(α1, β)+(α2, β2)=(αf +α2, β, +β2)(α1, β)(α2,β2) = (α,α -β,β2,α,β2,+β,α2 这里α表示的是共轭数：α=aαi=-α(αα是实数)
定义 一个交换除环叫做一个域。 ◼ 例3 R=｛所以复数对（ ）｝。这里 ，当而且只当 的时候。R的加法和乘法是 ◼ 这里 表示的是共轭数： , ( 1 1 2 2 , , ) = ( ) 1 2 1 2 = = , ( 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , ) + = + + ( ) ( ) ( 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , )( ) = − + ( ) 1 2 1 2 1 2 = + = − a a i a a i a a , ( ， 是实数）
这个环叫做四元数除环(i, 0)(0, 1)=(0, 1), (0, 1)(i, 0)=(o, -i)(i, 0)(0, 1)±(0, 1)(i, 0)这个环叫做四元数除环Back
这个环叫做四元数除环 这个环叫做四元数除环 (i i o i , 0 0, 1 0, 1 , 0, 1 , 0 , )( ) = = − ( ) ( )( ) ( ) (i i , 0 0, 1 0, 1 , 0 )( ) ( )( )