S8．子群8.1定义与例8.2等价条件8.3生成子群8.4子群的运算
§８．子群 • 8.1定义与例 • 8.2 等价条件 • 8.3 生成子群 • 8.4 子群的运算
8.1定义与例讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群G．假如由G里取出一个非空子集H来，那么利用G的乘法可以把H的两个元相乘：对于这个乘法来说，H很可能也作成一个群。定义一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群，用符号H≤G表示.例1给了一个任意群G，G至少有两个子群：1.G;2．只包含单位元e的子集
8.1定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群 ．假如由 里取出一个非空子集 来，那么利 用 的乘法可以把 的两个元相乘．对于这个乘法 来说， 很可能也作成一个群． G G H G H H 定义 一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子 群，假如 对于 的乘法来说作成一个群, 用符号 表示． G H G H G H G 例１ 给了一个任意群 ， 至少有两个子群： １． ； ２．只包含单位元 的子集． G G G e
例 2 G=S,，H={(1)，(12).那么 H是 S,的一个子群因为：I：H对于G的乘法来说是闭的，(1)(1) = (1) , (1)(12) = (12),(12)(1) = (12) , (12)(12) =(1) ;Ⅱ：结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对；IV. (I)eH;V. (1)(1)=(1) , (12)(12)=(1).更多的例子注1：H的乘法必须是G的乘法注2：验证H是子群时有些条件可以省略
例２ ， ， ．那么 是 的一个子群． 因为： Ⅰ． 对于 的乘法来说是闭的， ， ， ， ； Ⅱ．结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对； Ⅳ． ； Ⅴ． ， ． 更多的例子. 注1: 的乘法必须是 的乘法 注2: 验证 是子群时有些条件可以省略. G S = 3 H ={(1) (12)} H 3 S H G (1)(1) (1) = (1)(12) (12) = (12)(1) (12) = (12)(12) (1) = G H (1) H (1)(1) (1) = (12)(12) (1) = H G H
8.2等价条件引理：设H≤G，那么(1)eH =eG(2)a=αG,对于H中运算α定理1一个群G的一个不空子集 H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：(i)a,bEH=abEH(ii) aEH=aleH
8.2 等价条件 引理:设 , 那么 (1) (2) , 对于 中运算 H G H G e e = 1 1 H G a a − − = H a 定理１ 一个群 的一个不空子集 作成 的一个 子群的充分而且必要条件是： （ⅰ） （ⅱ） G H G a b H ab H , 1 a H a H −
证明若是（i），（ii）成立，H作成一个群I：由于（i），H是闭的：Ⅱ：结合律在G中成立，H在中自然成立;IV.因为H至少有一个元α，由（ii），H也有元α-，所以由（i）a'a=eεHV．由（ii），对于H的任意元 α来说，H有元 α-l，使得a-a=e反过来看，假如H是一个子群，（i）显然成立．我们证明，这时（ii）也一定成立．证完（i），（ii）两个条件也可以用一个条件来代替
证明 若是（ⅰ），（ⅱ）成立， 作成一个群． Ⅰ．由于（ⅰ）， 是闭的； Ⅱ．结合律在 中成立， 在中自然成立； Ⅳ．因为 至少有一个元 ，由（ⅱ）， 也有 元 ，所以由（ⅰ）， Ⅴ．由（ⅱ），对于 的任意元 来说， 有 元 ，使得 反过来看 ，假如 是一个子群 ，（ⅰ）显然成 立．我们证明，这时（ⅱ）也一定成立． 证完■ （ⅰ），（ⅱ）两个条件也可以用一个条件来代 替． H H G H H a H 1 a − 1 a a e H − = H a H 1 a − 1 a a e − = H