3.从 Green公式还可以得到一个求区域面积的方法: 设D为平面上的有界闭区域,其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 dx ray- var D 其中OD取正向
3. 从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法： 设 D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 1 d d dd 2 S xy yx xy yx ∂∂ ∂ = =− = − ∫∫ ∫ DD D ， 其中∂D取正向
例14.31计算椭圆+2=1(ab>0)所围图形的面积。 O 图1437 解椭圆的参数方程为 x=acos6,y=bsin6,0≤6≤2兀 设椭圆的正向边界为L,那么所求面积为 ab r2n abcs 0+absin 0)de= do=tab 2
例 14.3.1 计算椭圆 x a y b a b 2 2 2 += > 2 1 0 (, )所围图形的面积。 解 椭圆的参数方程为 xa yb = cos , sin ,0 2 θ = ≤≤ θ θ π 。 设椭圆的正向边界为L，那么所求面积为 ( ) 2π 2π 2 2 0 0 1 1 d d cos sin d d π 2 2 2 L ab S x = −= + = = y y x ab ab θ θθ θ ab ∫∫ ∫ 。 图14.3.7 x a y b 2 2 2 2 + =1 O x y
例14.32计算/=y2+ydx+yxy+hm(x+V2+y)dy,其中L为 曲线y=sinx0≤x≤π与直线段y=0.0≤x≤π所围区域D的正向边界。 解令P O In(x )|,则 aP 00 x +y 由 Green公式得到 ag aP sinx 4 dxd dx ox ay yo - 3o sin'xdx D y=sin x 图1438
例 14.3.2 计算 2 2 2 2 d ln( ) d L I x y x y xy x x y y = + + +++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ，其中L为 曲线 y xx = sin ,0 ≤ ≤ π与直线段 y x = 0,0 ≤ ≤ π所围区域 D的正向边界。 解 令 2 2 2 2 P x y , l Q y xy n( ) x x y =+ = +++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦，则 22 2 22 , yx y y x Q yx y y P + += ∂ ∂ + = ∂ ∂ 。 由 Green 公式得到 π sin π 2 23 0 0 0 1 4 d d d d d d sin d 3 9 Q P x I x y y x y x y y x x x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ − == = = ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ D D 。 = sin xy O x y π 图14.3.8
例14.33计算/=( e sin y-m)dr+( e cos y-m)dy,其中L为圆 (x-a2+y2=a2(a>0)的上半圆周,方向为从点42a,0)到原点O(0,0 解现在积分曲线不是闭的,不能 直接用 Green公式,但添加一条直线y 222 段OA(方向从O到A)后,L与OA合 (x-a)+y=a 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 P=e sin y-my, =e cos y-m, A(2a,0)x P aO x e cosy-m e cOs yo 图1439 利用 Green公式,得到 f(e" sin y-my)dx+(e cos y-m)dy +f(esin y-my)dx+(e cos y-m) mmta ml dxdy=
例 14.3.3 计算 (e sin d e cos d )( ) x x L I y my x y m y = −+ − ∫ ，其中L为圆 )( )0( 222 aayax >=+− 的上半圆周，方向为从点 aA )0,2( 到原点O(,) 0 0 。 解 现在积分曲线不是闭的，不能 直接用 Green 公式，但添加一条直线 段OA（方向从O到 A）后，L与OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 y。 x Q my y P myQmyyP x x x x cose,cose ,cose,sine = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −=−= 利用 Green 公式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e sin d e cos d e sin d e cos d π 2 xx xx L OA y my x y m y y my x y m y m a m dxdy − + −+ − + − = = ∫ ∫ ∫∫ 。 D A a (2 , 0) 22 2 ( ) xa y a − += O x y 图14.3.9
再计算沿O的曲线积分。因为OA的方程为y=0,x:0→2a,那么 J(e sin y-my)dx+(e cos y-m)dy=Jo odx+0 代入前面的式子,就得到 f(e sin y-my)dx+(e" cos y-m)dy mmt a
再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为 = → 20:,0 axy ，那么 ( ) ( ) 20 e sin d e cos d 0d 0 0 a x x OA y my x y m y x − + − = += ∫ ∫ 。 代入前面的式子，就得到 ( )( ) 2 π e sin d e cos d 2 x x L m a y my x y m y − + −= ∫