§4隐函数 前面讨论的函数大多是=f(xy)形式,如z=x和z=Vx2+y2等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler方程 F(x,y)=y-x-Esin y=0,0<8<1 这里x是时间,y是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度,是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑,y必定是x的函数, 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力 这种自变量和因变量混合在一起的方程(组)F(x,y)=0,在一定 条件下也表示y与x之间的函数关系,通称隐函数。 那么自然要问,这种函数方程(组)在什么条件下确实表示了 个隐函数(向量值隐函数),如何保证该隐函数连续和可微?
前面讨论的函数大多是 = yxfz ),( 形式，如 z = xy 和 22 += yxz 等。 这种函数表达形式通常称为显函数。 但在理论与实际问题中更多遇到的是函数关系无法用显式来表 达的情况。如在一元函数中提过的反映行星运动的 Kepler 方程 yxF ),( = − − ε yxy = < ε < 10,0sin ， 这里 x 是时间， y 是行星与太阳的连线扫过的扇形的弧度，ε 是行星 运动的椭圆轨道的离心率。从天体力学上考虑， y 必定是x 的函数， 但要将函数关系用显式表达出来却无能为力。 这种自变量和因变量混合在一起的方程（组）Fxy (, ) 0 = ，在一定 条件下也表示 y 与 x 之间的函数关系，通称隐函数。 那么自然要问，这种函数方程（组）在什么条件下确实表示了一 个隐函数（向量值隐函数），如何保证该隐函数连续和可微？ §4 隐函数
单个方程的情形 定理124.1(一元隐函数存在定理)若二元函数F(x,y)满足条 件 (1)F(xn2y)=0; (2)在闭矩形D={xy)x-xa,|y-yb上,F(x,y)连续,且 具有连续偏导数; (3)F(x2yb)≠0。 那么 (i)在点(x,y)附近可以从函数方程 F(x,y)=0 唯一确定隐函数 y=f(x),x∈O(x0,p), 它满足F(x,f(x)=0,以及y=f(x); (i)隐函数y=f(x)在x∈O(x0,p)上连续; (i)隐函数y=f(x)在x∈O(x0,p)上具有连续的导数,且 dy F(x, y) dx F(x, y)
那么 （ⅰ）在点 ),( 00 yx 附近可以从函数方程 yxF = 0),( 唯一确定隐函数 ),(),( = ∈ xOxxfy 0 ρ , 它满足 xfxF = 0))(,( ，以及 )( 0 0 = xfy ； （ⅱ）隐函数 = xfy )( 在 ),( ∈ xOx 0 ρ 上连续； （ⅲ）隐函数 = xfy )( 在 ),( ∈ xOx 0 ρ 上具有连续的导数，且 d (, ) d (, ) x y y F x y x F xy = − 。 单个方程的情形 定理 12.4.1（一元隐函数存在定理） 若二元函数 yxF ),( 满足条 件： （1） 0),( yxF 00 = ； （2）在闭矩形 0 0 D = {(, ) x y | | xx a −≤ −≤ | , | | y y b}上， yxF ),( 连续，且 具有连续偏导数； （3） 0),( y yxF 00 ≠
证不失一般性,设F,(xn,y)>0。 先证明隐函数的存在性。 使得在闭矩形D={(x,y)x-xba,|y-y0B上成a≤an0<B≤b, 由F,(x0,y)>0与F,(x,y)的连续性,可知存在0 >0 于是,对固定的x,y的函数F(x2,y)在[y-B,y+是严格单调 增加的。又由于F(x,y)=0,从而 F(x0,y0-B)<0,F(x0,y0+B)>0
证 不失一般性，设 0),( y yxF 00 > 。 先证明隐函数的存在性。 由 0),( y yxF 00 > 与 yxF ),( y 的连续性，可知存在 < α ≤ 0,0 < β ≤ ba ， 使得在闭矩形 * 0 0 D = {( , ) || | , | | } xy x x y y −≤ −≤ α β 上成立 yxF > 0),( y 。 于是，对固定的 0 x ，y 的函数 ),( 0 yxF 在 ],[ 0 − β yy 0 + β 是严格单调 增加的。又由于 0),( yxF 00 = ，从而 0),(,0),( yxF 00 − β < yxF 00 β >+
由于F(x,y)在D上连续性,于是存在ρ>0,使得在线段 p<x<xo+p, y=yo+ B 上F(x,y+B)>0,而在线段 xo-p<x<xo +p, y=yo-B 上F(xy0-B)<0。 因此,对于(x-p,x+p)内的任一点x,将F(x,y)看成y的函数, 它在[y-B,y+上是连续的,而由刚才的讨论知道 F(x,y-B)<0,F(x,yo+B)>0, 根据零点存在定理,必有j∈(1-B,y+B)使得F(x,y)=0。又因为在D 上F>0,因此这样的y是唯一的
由于 yxF ),( 在 * D 上连续性，于是存在 ρ > 0 ，使得在线段 0 − ρ < < 0 + ρ, = yyxxx 0 + β 上 0),( yxF 0 β >+ ，而在线段 0 − ρ < < 0 + ρ, = yyxxx 0 − β 上 0),( yxF 0 β <− 。 因此，对于 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 内的任一点 x ，将 yxF ),( 看成 y 的函数， 它在 ],[ 0 β yy 0 +− β 上是连续的，而由刚才的讨论知道 0),(,0),( yxF 0 − β < yxF 0 β >+ ， 根据零点存在定理，必有 ),( ∈ 0 − β yyy 0 + β 使得 yxF = 0),( 。又因为在 * D 上 > 0 Fy ，因此这样的 y 是唯一的
将y与x的对应关系记为j=f(x),就得到定义在(x0-p,x0+p)上 的函数y=f(x),它满足F(x,f(x)=0,而且显然成立y0=f(x) yo+ B 05y0 F<0 xo-p x xo xo+p x 图1242
将 y 与 x 的对应关系记为 y = xf )( ，就得到定义在 ),( 0 − ρ xx 0 + ρ 上 的函数 = xfy )( ，它满足 xfxF ≡ 0))(,( ，而且显然成立 )( 0 0 = xfy 。 y y0 + β F > 0 0 y ),( 00 yx y y0 − β F < 0 O x 0 x 0 x + ρ x 图 12.4.2 0 x − ρ