再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3的区域,在这种区域上,平行于y轴的直线与D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域 D与D,(D的边界为曲线ABMA,D,的边界为曲线ANBA)。因此可以 应用 Green公式得到 a0 aP Pdx+od dxdy D dx ay Pdx+ody 00 aP dxdy D ax a B N 图143.3
再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将D分割成两个标准区域 D1与 D2（ D1的边界为曲线 ABMA，D2的边界为曲线 ANBA）。因此可以 应用 Green 公式得到 1 1 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D , 2 2 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3
注意D与D,的公共边界AB,其方向相对于D而言是从A到B, 相对于OD2而言是从B到A,两者方向正好相反,所以将上面的两式相 加便得 00P Pdx+ ody aD (Ox dy 对于Gren公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
注意D1与 D2的公共边界 AB ，其方向相对于 1 ∂D 而言是从 A到B ， 相对于 2 ∂D 而言是从B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相 加便得 d d d d Q P P x Qy x y x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ D D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略
Gren公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例(见图14.34),用光滑曲线连结其外边界L上 点M与内边界上一点N,将D割为单连通区域。由定理14.31得到 D 图1434 ag aP dxdy Pdx +Odv dx dy NM + Pdx+ody= Pdx+ ody 其中L为逆时针方向,l为顺时针方向,这与D的诱导定向相同
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L上一 点M 与内边界l上一点N ，将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 d d d d d d d d, L MN l NM L l Q P x y Px Qy x y P x Qy Px Qy ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = + ++ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 其中L为逆时针方向，l为顺时针方向，这与∂D的诱导定向相同。 D l L M N
Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论 1.记取诱导定向的D上的单位切向量为r,单位外法向量为n (见图14.3.5),那么显然有 cos(n, y)=-cos( t, x),cos(n, x)=sin( t, x) 因此得到Gren公式的另一种常用表示形式 OF aG dxdy= Fdy-Gd [FSin(, x)-Gcos(, x)]ds I[Fcos(n, x)+G cos(n, y)]ds 这个形式便于记忆和推广。 aD D 图143.5
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的∂D上的单位切向量为τ ，单位外法向量为n （见图 14.3.5），那么显然有 n y = −cos(),cos( τ x), ， n x),cos( =sin( τ x), 。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 dd d d F G xy Fy Gx x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = −= ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫ D DD [ sin( , ) cos( , )]d F τ xG xs − τ ∂ = ∫ D [ cos( , ) cos( , )]d F n n x G+ y s ， 这个形式便于记忆和推广。 ∂D τ n D 图14.3.5
2. Green公式是 Newton-Leibniz公式的推广。设f(x)在[ab上具 有连续导数,取D=a,b]×[0,1(见图14.36)。在Gren公式中取P=0, Q=f(x),就得到 (x)dy=∫f(x)y D D 利用化累次积分的方法,等式左边就是∫d∫(xdx=(xux。而等 式右边等于 +∫++∫(x)y=+(x)=(b0+/(a)y=/(b)-f(a) AB BC CD DA BC DA 这就得到 Newton- Leibniz公式 ∫r(xdx=/(b)-f(a)。 D O 图1436
2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 xf )( 在 ba ],[ 上具 有连续导数，取D = [ , ] [0,1] a b × （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取P = 0， = xfQ )( ，就得到 f ( )d d ( )d x xy f x y ∂ ′ = ∫∫ ∫ D D 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 1 0 d ( )d ( )d b b a a y fxx fxx ′ ′ = ∫∫ ∫ 。而等 式右边等于 1 0 0 1 ( )d ( )d ( )d ( )d ( ) ( ) AB BC CD DA BC DA +++ = + = + = − f x y fx y fb y fa y fb fa ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ( )d b a f ′ x x ∫ = − afbf )()( 。 a b x 1 D y O 图14.3.6