曲线积分与路径无关的条件 容易想像,若一个函数沿着连接A,B两个端点的一条路径L积 分,一般说来,积分值不仅会随端点变化而变化,还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出,也有一些曲线积分的值,如重力所做的功, 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义
曲线积分与路径无关的条件 容易想像，若一个函数沿着连接 A，B 两个端点的一条路径 L 积 分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功， 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与 路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义：
曲线积分与路径无关的条件 容易想像,若一个函数沿着连接A,B两个端点的一条路径L积 分,一般说来,积分值不仅会随端点变化而变化,还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出,也有一些曲线积分的值,如重力所做的功, 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义: 定义14.3.1设D为平面区域,P(x,y),Q(x,y)为D上的连续函数。 如果对于D内任意两点A,B,积分值 Pdx +Od1 与A,B两点有关,而与从A到B的路径L(这里只考虑光滑或分 段光滑曲线)无关,就称曲线积分∫Pdx+与路径无关。否则称为 与路径有关
定义 14.3.1 设 D为平面区域，P( , ), ( , ) x y Q x y 为 D上的连续函数。 如果对于D内任意两点 A，B ，积分值 d d L P x Q+ y ∫ 只与 A，B 两点有关，而与从 A到B 的路径L（这里只考虑光滑或分 段光滑曲线）无关，就称曲线积分 d d L P x Q+ y ∫ 与路径无关。否则称为 与路径有关。 曲线积分与路径无关的条件 容易想像，若一个函数沿着连接 A，B 两个端点的一条路径L积 分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同 而不同。 但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功， 可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与路 径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义：
定理14.3.2(Gren定理)设D为平面上的单连通区域, P(xy)Q(x,y)在D上具有连续偏导数。则下面的四个命题等价: (1)对于D内的任意一条光滑(或分段光滑)闭曲线L, Pdx+ody=0 ()曲线积分∫Pd+与路径无关; (3)存在D上的可微函数U(x,y),使得 dU′=Pdx+Ody, 即Pdx+Qdy为U(x,y)的全微分,这时称U(x,y)为1-形式Px+cdy的原 函数; (4)在D内成立等式 aP 00 ay ax
定理 14.3.2（Green 定理） 设 D为平面上的单连通区域， P( , ), ( , ) x y Q x y 在 D上具有连续偏导数。则下面的四个命题等价： (1) 对于 D内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线L， d d0 L Px Qy + = ∫ ； (2) 曲线积分 d d L P x Qy + ∫ 与路径无关； (3) 存在 D上的可微函数U(,) x y ，使得 d dd U Px Q = + y ， 即Pd d x Q+ y 为U(,) x y 的全微分，这时称U(,) x y 为 1-形式Pd d x Q+ y 的原 函数； (4) 在 D内成立等式 P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂