第十二章习题课
第十二章 习题课
傅里叶级数 (1)三角函数系 IeCC E S, coS 4,sn2, 任意两个不同函数在-T,m上的积分等于零 cos ndx=0 ∫snt=0, (其中n=1,2,…)
1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx, 任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零. 正交性 − cos = 0, − nxdx sin = 0, − nxdx (1).三角函数系 (其中n = 1,2, ) 傅里叶级数
T 0.m≠n SInn sinx x T . =n 0,m≠n cos x cos nra T lI, m=n sInx cos r d=0(其中mn,n=1,2,…) (2)傅里叶级数 定义+∑(nc0smx+ b. sinr)三角级数 2 n-=1
= = − m n m n mx nxdx , 0, sin sin = = − m n m n mx nxdx , 0, cos cos sin cos = 0 − mx nxdx (其中m,n = 1,2,) (2) 傅里叶级数 + + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 定义 三角级数
do+2(a, cos nx+b, sin nx) 2 f(x)cos ndr, (n=0, 1, 2,.) 其中 b π1一元 f()sin ndx,(n=1, 2,".) 称为傅里叶级数
其中 = = = = − − ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 b f x nxdx n a f x nxdx n n n 称为傅里叶级数. + + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a
(3)狄利克雷( Dirichlet)充分条件(收敛定理 设f(x)是以2π为周期的周期函数如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级 数收敛并且 (1)当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x); (2)当x是f(x)的间断点时,收敛于 f(x-0)+f(x+0) 2 (3)当x为端点x=±π时收敛于 f( +0)+f(元 2
(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f (x)是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则f (x) 的傅里叶级 数收敛,并且 (1) 当x 是 f (x)的连续点时,级数收敛于f (x) ; (2)当x是 f (x)的间断点时, 收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0) ; (3) 当x 为端点x = 时,收敛于 2 f (− + 0) + f ( − 0)