[练后悟通]1.象限角的2种判断方法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几图象法象限角先将已知角化为k?360°+α(0°≤a<360°，kEZ)的形式，即找出与已知角终边相转化法同的角，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2.求_或nO(nEN)所在象限的步骤(1)将的范围用不等式(含有k，且kEZ)表示；(2)两边同除以n或乘以n;0(3)对k进行讨论，得到或n0（nEN）所在的象限[提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180°可得角α十180°的终边，类推可知a十k·180°kEZ)表示终边落在角α的终边所在直线上的角考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][例1]已知扇形的圆心角是a，半径是r，弧长为1.(1)若α=100，r=2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数元5元[解】（1)因为α=100°=100×180-91=ar=xax10元P=××4=所以S扇形=9(2)由题意知，1+2r=20，即[=20-2r，故S扇形=r=(20 - 2r)-r= - (r- 5)2 +25 ,.r当r=5时，S的最大值为25，此时1=10，则==2[解题技法】第6页共155页
第 6 页 共 155 页 [练后悟通] 1．象限角的 2 种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几 象限角 转化法 先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角 2．求 θ n 或 nθ(n∈N* )所在象限的步骤 (1)将 θ 的范围用不等式(含有 k，且 k∈Z)表示； (2)两边同除以 n 或乘以 n； (3)对 k 进行讨论，得到θ n 或 nθ(n∈N* )所在的象限． [提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边逆时针旋转 180°可得角 α＋180° 的终边，类推可知 α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角． 扇形的弧长及面积公式的应用 [师生共研过关] [例 1] 已知扇形的圆心角是 α，半径是 r，弧长为 l. (1)若 α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为 α＝100°＝100× π 180＝ 5π 9 ， 所以 S 扇形＝ 1 2 lr＝ 1 2 αr 2＝ 1 2 × 5π 9 ×4＝ 10π 9 . (2)由题意知，l＋2r＝20，即 l＝20－2r， 故 S 扇形＝ 1 2 l·r＝ 1 2 (20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当 r＝5 时，S 的最大值为 25，此时 l＝10，则 α＝ l r ＝2. [解题技法]
有关弧长及扇形面积问题的注意点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度：(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形，[跟踪训练]1.（多选)(2021·青岛棋拟)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列选项正确的有）(A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D。圆心角的弧度数是2解析：选ABC设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，[2r+ar=6,[r=1 ,r=2,或则由题意得1解得[a=1,Gar=2,la=4可得圆心角的弧度数是4或12.若扇形的圆心角α=120，弦长AB=12cm，则弧长l=cm.解析：设扇形的半径为rcm，如图L由sin60°=4V3cm30°60°5_8V32元X4V3:所以1=ar:3元(cm) .38V3答案：3元考点三三角函数的定义及应用[定向精析突破]考向1三角函数的定义[例2]（1)已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一K则a的值为(点P(一4，a)，且sinβcosβ=)4A. 4V3B, ±4V3D. V3C.-4V3或-131第7页共155页
第 7 页 共 155 页 有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到 解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． [跟踪训练] 1．(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，下列选项正确的有 ( ) A．圆的半径为 2 B．圆的半径为 1 C．圆心角的弧度数是 1 D．圆心角的弧度数是 2 解析：选 ABC 设扇形半径为 r，圆心角弧度数为 α， 则由题意得 2r＋αr＝6， 1 2 αr 2＝2， 解得 r＝1， α＝4 或 r＝2， α＝1， 可得圆心角的弧度数是 4 或 1. 2．若扇形的圆心角 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，则弧长 l＝ cm. 解析：设扇形的半径为 r cm，如图． 由 sin 60°＝ 6 r 得 r＝4 3 cm， 所以 l＝|α|·r＝ 2π 3 ×4 3＝ 8 3 3 π(cm)． 答案：8 3 3 π 三角函数的定义及应用 [定向精析突破] 考向 1 三角函数的定义 [例 2] (1)已知角 β 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有一 点 P(－4，a)，且 sin β·cos β＝ 3 4 ，则 a 的值为( ) A．4 3 B．±4 3 C．－4 3或－4 3 3 D． 3
(2)已知角α的终边在直线y=一x上，且cosa<0，则tana=V3- 4a[解析】(1)因为点P(-4a)在角β的终边上且sinβcosβ=4，所以X(-4)+aA/3.故选C.解得a=-4V3或a=-3(2)如图，由已知，角α的终边在第二象限，在其终边上任取一点P(x，J),则y=-x，由三角函数的定义得 tanα=±=兰==-1xx[答案] (1)C (2)-1[解题技法]利用三角函数定义解决问题的策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.考向2三角函数值符号的判定【例3]（2020·全)若α为第四象限角，则（）A. cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0[解析】法一：因为α为第四象限角，所以2k元-<α<a<2k元，kEZ，所以4k元-元<2a2<4k元，kEZ，所以2a的终边在第三象限、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin2a<0.故选D.法二：因为a为第四象限角，所以sina<0，cosa>0，所以sin2a=2sinacosa<0.故选 D.[答案] D第8页共155页
第 8 页 共 155 页 (2)已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上，且 cos α＜0，则 tan α＝ . [解析] (1)因为点 P(－4，a)在角 β 的终边上且 sin β·cos β＝ 3 4 ，所以 －4a (－4) 2＋a 2 ＝ 3 4 . 解得 a＝－4 3或 a＝－ 4 3 3.故选 C. (2)如图，由已知，角 α 的终边在第二象限，在其终边上任取一点 P(x， y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tan α＝ y x ＝ －x x ＝－1. [答案] (1)C (2)－1 [解题技法] 利用三角函数定义解决问题的策略 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值．先求 P 到原点的距离，再 用三角函数的定义求解； (2)已知角 α 的某三角函数值，可求角 α 终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根据定义 中的两个量列方程求参数值； (3)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角函数的定义可求角 α 终边 上某特定点的坐标． 考向 2 三角函数值符号的判定 [例 3] (2020·全国卷Ⅱ)若 α 为第四象限角，则( ) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 [解析] 法一：因为 α 为第四象限角，所以 2kπ－ π 2 ＜α＜2kπ，k∈Z，所以 4kπ－π＜2α ＜4kπ，k∈Z，所以 2α 的终边在第三象限、第四象限或 y 轴的负半轴上，所以 sin 2α＜0.故 选 D. 法二：因为 α 为第四象限角，所以 sin α＜0，cos α＞0，所以 sin 2α＝2sin αcos α＜0.故 选 D. [答案] D
[解题技法]三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.[跟踪训练]1.下列各选项中正确的是（A.sin300>0B. cos(-305)<0（22元）C. tan(-)>0D. sin 10<0解析：选D300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故sin300<0；-305°=-360°22元.m.-8元++55°，则-305°是第一象限角，故c0s（-305）>0；是第二象限3322元k0; 3<10<7n<多, 10 第三象限角 , in1-0, 选 D .角，故tan37S2.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos0=若点M(x8)5是角0终边上一点，则x等于（A.-12B. -10C. -8D. -6解析：选D由任意角的三角函数的定义可得，=.3xcOS O=±=—5x2 +64解得x=-6.3.设0是第三象限角，且一cos，则是(剂B.第二象限角A.第一象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：选B由0是第三象限角知为第二或第四象限角，07<02..cos2-cos综上可知，为第二象限角。第9页共155页
第 9 页 共 155 页 [解题技法] 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余 弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨 论求解． [跟踪训练] 1．下列各选项中正确的是( ) A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan － 22π 3 >0 D．sin 10<0 解析：选 D 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角，故 sin 300°<0；－305°＝－360° ＋55°，则－305°是第一象限角，故 cos(－305°)>0；－ 22π 3 ＝－8π＋ 2π 3 ，则－22π 3 是第二象限 角，故 tan － 22π 3 <0；3π<10< 7π 2 ，则 10 是第三象限角，故 sin 10<0，故选 D. 2．已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，且 cos θ＝－ 3 5 ，若点 M(x,8) 是角 θ 终边上一点，则 x 等于( ) A．－12 B．－10 C．－8 D．－6 解析：选 D 由任意角的三角函数的定义可得， cos θ＝ x r ＝ x x 2＋64 ＝－ 3 5 ， 解得 x＝－6. 3．设 θ 是第三象限角，且 cos θ 2 ＝－cos θ 2 ，则θ 2 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选 B 由 θ 是第三象限角知，θ 2 为第二或第四象限角， ∵ cos θ 2 ＝－cos θ 2 ，∴cos θ 2 ＜0， 综上可知，θ 2 为第二象限角．
[课时过关检测]A级--基础达标1．下列命题错误的是(13元4元，是第二象限角B.是第三象限角A.43C。一400°是第四象限角D.一315°是第一象限角3元4元4初+号，从而号是第三象限角, B 正 解析：选A-是第三象限角，故A错误等=元+3'3确.-400°=-360°-40°，从而C正确，-315°=-360°+45°，从而D正确.2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的孤度数为()兴BK2C.V2D. 2V2解析：选C设圆的半径为r，则该圆内接正方形的边长为Vzr，即这段圆弧长为VzrV2r=V2.故选C则该圆弧所对的圆心角的弧度数为.3313.已知点Asin，：cos%)落在角 0 的终边上，且 0E[0,2元)，则 0 的值为(3元A."B.45元7元c.D.4解析：选D点Psin元，cos2-V2)(N2，点P落在角 0 的终边上，且0E[0,2元) ,所以 0=7元即PV4(2.24.若角α与β的终边关于x轴对称，则有(1A.a+β=90°B.a+β=90°+k360°kEzC.a+β=2k.180kEZD.a+β=180°+k·360°,kEZ解析：选C因为α与β的终边关于x轴对称，所以β=2k·180°-a，kEZ，所以α+第10页共155页
第 10 页 共 155 页 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．下列命题错误的是( ) A．－ 3π 4 是第二象限角 B． 4π 3 是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 解析：选 A － 3π 4 是第三象限角，故 A 错误. 4π 3 ＝π＋ π 3 ，从而4π 3 是第三象限角，B 正 确．－400°＝－360°－40°，从而 C 正确．－315°＝－360°＋45°，从而 D 正确． 2．已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为 ( ) A. 2 4 B． 2 2 C. 2 D．2 2 解析：选 C 设圆的半径为 r，则该圆内接正方形的边长为 2r，即这段圆弧长为 2r， 则该圆弧所对的圆心角的弧度数为 2r r ＝ 2.故选 C. 3．已知点 P sin 3 4 π，cos 3 4 π 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为( ) A． π 4 B． 3π 4 C． 5π 4 D． 7π 4 解析：选 D 点 P sin 3 4 π，cos 3 4 π ， 即 P 2 2 ， － 2 2 ，点 P 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，所以 θ＝ 7π 4 . 4．若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则有( ) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 解析：选 C 因为 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，所以 β＝2k·180°－α，k∈Z，所以 α＋