上述积分叫做先对 Y,后对 × 的二次积分,即先把x看作常数,f(x,J)只看作y的函数,对f(x,y)计算从(x)到(x)的定积分,然后把所得的结果（它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对，后对x的二次积分也常记作b92(x)JJ f(x,y)do= f dxJ f(x, y)d)Dapi(x)在上述讨论中,假定了F(x,J)≥0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的f(x,J)(在D上连续),公式(1)总是成立的。I = JJ(1-x2)do D=((x,y)/-1≤x≤1,0≤y≤2)D例如：计算I=[dxj(1- x)dy= [1-x))] dx解：2..81x)dx = 2x-2713^-3类似地，如果积分区域D可以用下述不等式c≤y≤d,di(y)≤ x ≤ Φ2(y)表示,且函数虹i(y),Φ2(y)在[c,d]上连续,f(x,J)在D上连续,则d [Φ2(y)dΦ2(y) f(x, y)do= /{ f(x, y)dx [dy = [dy { f(x, y)dxDcΦ(y)d(y)(2)
上述积分叫做先对 Y,后对 X 的二次积分,即先把 x 看作常数, f (x, y) 只看作 y 的函数,对 f (x, y)计算从 ( ) 1 ϕ x 到 ( ) 2 ϕ x 的定积分,然后把所得的结果( 它是 x 的函数 )再对 x 从a 到b计算定积分。 这个先对 y , 后对 x 的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x (, ) (, ) ( ) ( ) σ ϕ ϕ ∫∫ ∫ ∫ = 1 2 在上述讨论中,假定了 f (x, y) ≥ 0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积 分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 f (x, y) (在 D 上 连续),公式(1)总是成立的。 例如:计算 I x d D xy x y D = − = −≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫ ( ) {( , ) | , } 1 1 10 2 2 σ 解: I dx x dy [ ] x y dx 2 0 1 1 2 2 0 2 1 1 (1 ) (1 ) ∫ ∫ ∫ − − = − = − 3 8 3 2 2(1 ) 2 1 1 3 1 1 2 = − = − = − − ∫ x dx x x 类似地,如果积分区域 D可以用下述不等式 c ≤≤ ≤ y d , () () φ y x ≤ φ y 1 2 表示,且函数φ1( ) y , φ 2( ) y 在[, ] c d 上连续, f (, ) x y 在 D上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ φ φ φ φ ∫∫ ∫ = ∫ ∫∫ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 1 2 1 2 (2)
JyddDx =pi(v)x=9q(y)x= Φ2(y)DΦ2(y)4福产Ccxoxo1显然(2)式是先对x,后对Y的二次积分。二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点：对于I型（或IⅡI型)区域，用平行于V轴（x轴）的直线穿过区域内部直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时，可对区域进行剖分，化归为I型(或ⅡI型)区域的并集。2、积分限的确定二重积分化二次积分，确定两个定积分的限是关键。这里，我们介绍配置二次积分限的方法-几何法。画出积分区域D的图形（假设的图形如下）(x,甲,(x))(x,9(x)oQxbx在[a,b]上任取一点x,过x作平行于√轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点(x,0.(x)与(x,,(x),这里的9(x)、,()就是将x,看作常数而对√积分时的下限和上限；又因x是在区间[α,b]上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为α、上限为b
显然,(2)式是先对 x ,后对 y 的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于 y 轴( x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区 域的边界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区 域的并集。 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次 积分限的方法 - 几何法。 画出积分区域 D的图形(假设的图形如下 ) 在[a, b]上任取一点 x ,过 x 作平行于 y 轴的直线,该直线穿过区域 D,与区 域 D的边界有两个交点( , ( )) 1 x ϕ x 与( , ( )) 2 x ϕ x ,这里的 ( ) 1 ϕ x 、 ( ) 2 ϕ x 就是将 x , 看作常数而对 y 积分时的下限和上限；又因 x 是在区间[,] a b 上任意取的,所以 再将 x 看作变量而对 x 积分时,积分的下限为a 、上限为b
([3xdo,其中D是由x轴,轴和抛物线=1-x在第一象例1、计算D限内所围成的区域。解:D:0≤x≤1,0≤y≤1-x2y=1-x2yJ[3x2y2do=j dx 3x2y2dyD0ox1Xdx=d16(2 -1)!(7 -1)!!sin't.cos' t dt - {令x=sint19!!315类似地,D:0≤y≤1,0≤x≤/1-Ji-yy2do=jdy {" 3x2y2dx[[ 3x2210D031[(1- y)2 y?dydy =02 cos$ t.sin' t dt = 2. (4-1)(5-1)!_ 16= sin- t3159!![] xydo，其中D是由抛物线J2=×及直线=×-2所围成的区例2、计算 D域
例 1、计算 3 2 2 xyd D ∫∫ σ ,其中 D是由 x 轴, y 轴和抛物线 y x = −1 2 在第一象 限内所围成的区域。 类似地, Dy x y : , 0 10 1 ≤≤ ≤≤ − 3 3 2 2 0 1 2 2 0 1 x y d dy x y dx D y ∫∫ ∫ ∫ = − σ = =− ∫ ∫ [ ] − x y dy y y dy y 3 2 0 1 0 1 3 2 2 0 1 ( ) 1 令y t t t dt = ⋅ =⋅ − − sin cos sin ∫ = ( )!!( )!! !! 2 45 0 2 2 2 41 51 9 16 315 π 例 2、计算 xyd D ∫∫ σ , 其中 D是由抛物线 y x 2 = 及直线 y = x − 2 所围成的区 域
解：D:0≤x≤1,-~x≤v≤x1D:1≤x≤4,x-2≤y≤x2[J xyda= JJ xyda + JJ xydox-21D2D2DDi1DiiX4xxY=Jdx [ xydy+Jdx J xydy-VxTx-2x450+dx:Q1L21-2D: -1≤v≤2.≤x≤y+2XCy+2[J xydo= [ dy [ xydx :dyD4518例3、求[[(x +y)dxdy,其中D是抛物线y=x2和x=y所围平面闭区域。解：两曲线的交点x=V= (1,1),(0,0)y=r3法一
D y y xy : , −≤ ≤ ≤ ≤ + 12 2 2 xyd dy xydx x y dy D y y y y ∫∫ ∫ ∫ ∫ σ = = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − + − + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 = +− = [ ] − ∫ 1 2 2 45 8 2 5 1 2 y y y dy ( ) 例 3、求 ( ) 2 , D x + y dxdy ∫∫ 其中 D 是抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域。 解：两曲线的交点 ( )( ) 2 2 1,1 , 0,0 x y y x ⎧ = ⎨ ⇒ ⎩ = 法一
J[(x +)dxdy=J'da[ (x*+)dyI'tx(Vx-x)+(x-x*)]dx33140法二先对x后对y积分[(+)dxdy=I'dy(x2+)d33140例 4、求由曲面2=×2+2y2及2=6-2x21所围成的立体的体积。解：1、作出该立体的简图，并确定它在XOy面上的投影区域消去变量z得一垂直于xoy面的柱面×2+y2=2,立体镶嵌在其中,立体在xOy面的投影区域就是该柱面在xOy面上所围成的区域D: x? + y2 ≤22、列出体积计算的表达式V= J[[(6-2x2 -y2)-(x2 +2y2) ]do = J[(6 - 3x2 - 3y3)doDD
2 1 2 2 0 1 22 4 0 ( )d d d ( )d 1 [ ( ) ( )]d 2 33 140 x x D x y xy x x y y x xx xx x += + = −+ − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ 法二 先对 x 后对 y 积分 2 ( ) 1 2 2 0 ( )d d 33 140 y y D x += + y x y dy x y dx = ∫∫ ∫ ∫ 例 4、求由曲面 zx y = +2 2 2 及 z xy =− − 6 2 2 2 所围成的立体的体积。 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 xoy 面上的投影区域 消去变量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 x y 2 2 + = 2,立体镶嵌在其中,立体 在 xoy 面的投影区域就是该柱面在 xoy 面上所围成的区域 Dx y : 2 2 + ≤ 2 2、列出体积计算的表达式 V xy x yd D = − −−+ ∫∫[( ) ( )] 62 2 22 2 2 σ = −− ∫∫ ( ) 63 3 2 3 x yd D σ