《高等数学》课程授课教案（讲义）第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分$10.1对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用教学重点：弧长曲线积分的计算教学难点：弧长曲线积分的计算教学内容：一、对弧长曲线积分的概念与性质1：曲线形构件质量设一构件占xoy面内一段曲线弧L，端点为A,B，线密度p(x,Jy)连续求构件质量M。解：(1)将L分割△s, (i=1,2,....,n)1y(2) V(xi,y,)e As;, AM, = p(xi,y,)-AsiA(3) M~Ep(x,y,)As,oi=l(4) M=limZp(x,y,)As;1→0 =lA= max(Asi,As2,""",As,)2.定义L为xoy面内的一条光滑曲线弧，f(xJ)在L上有界，用M将L分成n小段AS,，任取一点.),=-,,）作和(.AS，令i=l=max(AssAs,），当→0时，limf(n,)S,存在，称此极限值1→0=为f（x，y）在L上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为J(x, y)ds =limZ(5,n,)AS,>0=

第十章 曲线积分与曲面积分 §10.1 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 1． 曲线形构件质量 设一构件占 xoy 面内一段曲线弧 L ，端点为 A, B ，线密度 ρ(x, y) 连续 求构件质量 M 。 解：（1）将 L 分割 i Δs (i = 1,2,"", n) （2） ( , ) i i ∀ x y ∈ i Δs ， ΔMi ≈ i i i ρ(x , y )⋅ Δs （3） ( ) i n i i i M ≈ ∑ x y Δs =1 ρ , （4） ∑ → = = Δ n i i i i M x y s 0 1 ( , ) lim ρ λ max{ , , , } 1 2 n λ = Δs Δs " Δs 2．定义 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧，f (x, y) 在 L 上有界，用 Mi 将 L 分成n 小段 ΔSi ， 任取一点 i i ∈ ΔSi (ξ ,η ) (i = 1,2,"",n) 作和 i n i ∑ f i i ΔS =1 (ξ ,η ) ，令 max{ , , , } 1 2 n λ = Δs Δs " Δs ，当λ → 0时， i n i ∑ f i i ΔS →0 =1 ( , ) lim ξ η λ 存在，称此极限值 为 f (x, y) 在 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 = ∫ f x y ds L ( , ) i n i ∑ f i i ΔS →0 =1 ( , ) lim ξ η λ A o x y B

注意：（1）若曲线封闭，积分号6f(x,y)ds(2）若f(x,y)连续，则[f(x,y)ds存在，其结果为一常数(3）几何意义f(x,J)=1，则[f(x,J)ds=L（L为弧长)(4)物理意义 M=[p(x,y)ds(5）此定义可推广到空间曲线[(,,)ds=lim(5,n,5)-→0=l（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上J oxdsJpzds[pyds重心：xMMM转动惯量：,=「yp(x,j)ds，1I, = [x'p(x,y)ds ,I。= [(x? +y°)p(x,y)ds（7)若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但[F(x,J)ds与L的方向无关3．对弧长曲线积分的性质a: 设L= L, + L,, 则[f(x,y)ds=f(x,y)ds+[f(x,y)dsb: fLf(x,y)±g(x,y))ds=J f(x,y)ds ± g(x, y)dsc: [kf(x,y)ds=k [f(x,y)ds 。二对弧长曲线积分的计算[x=p(t)定理：设f(x,Jy)在弧L上有定义且连续，L方程(α≤t≤β), p(t),y(t)(y=y(t)在[α,β)上具有一阶连续导数，且p"2()+"2()0，则曲线积分「f(x,y)ds存在，且[ (x, y)ds=[ F[p(t), p()/"(t)+ p'2()dt 。说明：从定理可以看出计算时将参数式代入f(x,y)，ds="2()+"2()dt，在[α,]上计算定积(1)分。(2)注意：下限α一定要小于上限β，α<β（：△S恒大于零，：△t,>0）(3) L: y=p(x), a≤x≤b时, [f(x, y)ds=f' f[x,p(x)/1+[p'(x)Pdx

注意：（1）若曲线封闭，积分号 ∫ f (x, y)ds （2）若 f (x, y) 连续，则 f x y ds L ∫ ( , ) 存在，其结果为一常数. （3）几何意义 f (x, y) =1，则 f x y ds L ∫ ( , ) =L（L 为弧长） （4）物理意义 M= x y ds L ∫ ρ( , ) （5）此定义可推广到空间曲线 f x z y ds ∫ Γ ( , , ) = i n i ∑ f i i i ΔS →0 =1 ( , , ) lim ξ η ζ λ （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心： M xds x L ∫ = ρ ， M yds y L ∫ = ρ ， M zds z L ∫ = ρ 。 转动惯量： ∫ = L x I y (x, y)ds 2 ρ ， ∫ = L y I x (x, y)ds 2 ρ ， ∫ = + L o I (x y ) (x, y)ds 2 2 ρ （7）若规定 L 的方向是由 A 指向 B，由 B 指向 A 为负方向，但 f x y ds L ∫ ( , ) 与 L 的方向 无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设 L = L1 + L2 ，则 f x y ds L ∫ ( , ) = f x y ds L ∫ 1 ( , ) + f x y ds L ∫ 2 ( , ) b： f x y g x y ds L ∫[ ( , ) ± ( , ]) = f x y ds L ∫ ( , ) ± (, ) L g x y ds ∫ c： kf x y ds L ∫ ( , ) = k f x y ds L ∫ ( , ) 。 二 对弧长曲线积分的计算 定理：设 f (x, y) 在弧 L 上有定义且连续，L 方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y t x t ψ ϕ （α ≤ t ≤ β ），ϕ(t),ψ (t) 在[α,β ]上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 ϕ′ t +ψ ′ t ≠ ，则曲线积分 f x y ds L ∫ ( , ) 存在，且 f x y ds L ∫ ( , ) = ∫ ′ + ′ L f [ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2 φ ϕ φ ϕ 。 说明：从定理可以看出 （1） 计算时将参数式代入 f (x, y) ，ds (t) (t)dt 2 2 = φ′ +ϕ′ ，在[α,β ]上计算定积 分。 （2） 注意：下限α 一定要小于上限 β ，α < β （∵ ΔSi 恒大于零，∴ i Δt >0） （3） L ： y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b 时， f x y ds L ∫ ( , ) = f x x x dx b a 2 [ ,ϕ( )] 1+ [ϕ′( )] ∫

同理 L: x=(y),c≤y≤d 时,[f(x,y)ds=[[o(y),y/1+[g(y)Pdy(4)空间曲线P：x=(t)，y=(t)，z=可(t)f(x, y)ds=[" f[p(t),y(t), a(t)p2(t) + yr"2(t)+a"2(t)dt例1.计算曲线积分[ylds，其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的单位圆弧解（I)L:y=/i-x20≤x≤12dxAds=-dx4V1-x2dx/1-1dx =vdV1-(I)若L是 IIV象限从 4(0.1)到 B(,-)）的单位圆弧2(1) [vlds=[1vylds+ [lyldsLABBBdxdxVi-r2CVi- xV1-x21Iidxdx2V3Lx= /1- y2(2)若yI2dyVds:1一1lyds元≤1≤"(3)L:x=cost,y=sint23

同理 L ：x = φ( y)，c ≤ y ≤ d 时， f x y ds L ∫ ( , ) = f y y y dy d c 2 [φ( ), ] 1+ [φ′( )] ∫ (4) 空间曲线 P ： x = ϕ(t) ， y =ψ (t) ， z =ϖ (t) ， f x y ds P ∫ ( , ) = f [ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2 2 2 ϕ ψ ϖ ϕ ψ ϖ β α ′ + ′ + ′ ∫ 例 1．计算曲线积分 yds L ∫ ，其中 L 是第一象限内从点 A(0,1) 到点 B(1,0) 的单位圆弧 解 (Ⅰ) L ： 2 y = 1− x 0 ≤ x ≤ 1 2 2 2 1 1 1 x dx dx x x ds − = − = + ∴ yds L ∫ = 1 1 1 1 2 0 1 0 2 = = − − ⋅ ∫ ∫ dx x dx x (Ⅱ) 若 L 是ⅠⅣ象限从 A(0,1) 到 ) 2 3 , 2 1 B'( − 的单位圆弧 （1） yds L ∫ = yds AB ∫ ∩ + yds BB ∫ ∩ ′ = 2 1 0 2 1 1 x dx x − − ⋅ ∫ + 2 1 2 1 2 1 1 x dx x − − ⋅ ∫ = ∫ 1 0 dx + ∫ 1 2 1 dx = 2 3 (2) 若 L ： 2 x = 1− y ( 1 2 3 − ≤ y ≤ ) 2 2 2 1 1 1 y dy dy y y ds − = − = + yds L ∫ = dy y y ∫− − 1 2 3 2 1 = dy y y ∫− − − 0 2 3 2 1 + dy y y ∫ − 1 0 2 1 2 3 = (3) L ： x = cost ， y = sin t 3 2 π π − ≤ t ≤ o A y x B x o y A B B

ds=(-sint)?+cos?tdt=dt[ sin d - sindt =-[bvlds=, sin ldt-V+dsL：r=a=0 ==所围成的边界例2.计算4解L=OA+AB+BO在OA上ds = dxJ=00≤x≤aYxe"dx=e"-lA0≤0AB在上ds = adxr=a4Tae+, ds=[e'ade =4在OB上y=x，ds=/2dxx2+y2=/2x/2[er- ds=[eva 2xdx =e"-1.. JeP+ ds=2(e"-1)+e*4例3.计算x2+ydsL: x+y?=ax[x=rcos0L:r=acoso (-2解：y=rsine222 +y-=acoso,ds = (acos0) +(-asino)de=adsacos@.ado=a’ sino-2a?22aacOsa22*+y=%/1+coso或0≤0≤2元V2sine.27sing) +(sing)de-deds=22

ds = − t + tdt = dt 2 2 ( sin ) cos yds L ∫ = ∫− 2 3 sin π π t dt = − ∫ 2 0 sin π tdt ∫− 0 3 π sin tdt 2 3 = 例 2．计算 ∫ + L x y e ds 2 2 L ： r = a θ = 0 4 π θ = 所围成的边界 解 L = OA + AB+ BO ∩ 在 OA 上 y = 0 0 ≤ x ≤ a ds = dx ∴ ∫ + OA x y e ds 2 2 = 1 0 = − ∫ a a x e dx e 在 ∩ AB 上 r = a 4 0 π ≤ θ ≤ ds = adx ∴ ∫ ∩ + AB x y e ds 2 2 = = ∫ 4 0 π e adθ a a e a 4 π 在OB 上 y = x ， ds = 2dx x y 2x 2 2 + = ∫ + OB x y e ds 2 2 = 2 1 2 2 0 2 = − ∫ a a x e xdx e ∴ ∫ + L x y e ds 2 2 = 2( −1) a e + a e a 4 π 例 3．计算 ∫ + L x y ds 2 2 L ： x + y = ax 2 2 解 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y r x r ∵ L ：r = a cosθ ) 2 2 ( π θ π − ≤ ≤ cosθ 2 2 x + y = r = a ， ds = ( )( ) a θ + − a θ dθ = ads 2 2 cos sin ∴ ∫ + L x y ds 2 2 = ∫− ⋅ 2 2 cos π π a θ adθ = 2 2 2 sin π θ π − a = 2 2a 或 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + sin . 2 cos , 2 2 θ θ a y a a x 0 ≤ θ ≤ 2π + = 2 2 x y 1 cosθ 2 + a θ θ dθ a a ds 2 2 sin ) 2 sin ) ( 2 = (− + = dθ a 2 o x y B A o y x a

0x?+yds=*%/1+coso.%do=dA20CoS0122 Jo2例4.计算Φ（x+y)ds.其中L是圆周x+y°=R解：对称性,得Vx?+y?=R?$(x+y)ds=Φ, xds+Φ'ds =0对Φ,xds,因积分曲线L关于y轴对称，T被积函数x是L上关于x的奇函数=→Φxds=0对Φyds,因积分曲线L关于x轴对称，被积函数是上关于y的奇函数=ds=0L：y=xy=x2围成区域的整个边界列5dsy=x解L=OA+OA交点(0,0)(1,1)y=x3$ xds=Joxds +J6,xds=f'x2dx+f'x1+4xdx六(5/5-1)(V1+4x21222例6求I=「,yds,其中L为y2=2x上自原点到(2,2)的一段y解："=2x=x=兰?=2x(0≤y≤2)2I = [1+ ydy=(5/5 -1)P例7求=[,xyzds,其中:x=acos，=asin,z=k的—段(02元)解：I=acosesinokoa+kdo元ka?a?+k?

∴ ∫ + L x y ds 2 2 = θ θ π d a a 2 1 cos 2 2 0 + ⋅ ∫ = ∫ π θ 2 θ 0 2 2 cos 2 d a = 2 2a 例 4.计算 3 ( )d . L x + y s v∫ 其中 L 是圆周 22 2 x + = y R . 解：对称性,得 3 3 ( )d d d L LL x += + y s xs y s v vv ∫ ∫∫ ＝0 d , L x s 对v∫ 因积分曲线 L 关于 y 轴对称, 被积函数 x 是 L 上关于 x 的奇函数⇒ d 0 L x s = v∫ 3 d , L y s 对v∫ 因积分曲线 L 关于 x 轴对称， 被积函数 3 y 是 L 上关于 y 的奇函数⇒ 3 d 0 L y s = v∫ 例 5． ∫L xds L ： y = x 2 y = x 围成区域的整个边界 解 L = ∩ OA + OA 交点 ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 y x y x (0,0) (1,1) ∫L xds = ∫OA xds + ∫ ∩ OA xds = ∫ 1 0 x 2dx + ∫ + 1 0 2 x 1 4x dx = 1 0 2 2 2 x + 1 0 2 3 ( 1 4 ) 3 2 8 1 ⋅ + x = 2 2 + (5 5 1) 12 1 − 例 6 2 d , 2 (2, 2) . L I ys L y x = = 求 其中 为 上自原点到 的一段 ∫ 解： 2 2 2 (0 2) 2 y y xx y = ⇒= ≤≤ 2 2 0 1 1 d (5 5 1) 3 I y yy = += − ∫ 例 7 I xyz s x a y a z k d , : cos , sin , . (0 2 ) θ θ θ θπ Γ = Γ = = = ≤≤ 求 其中 的一段 ∫ 解： 2 2 22 0 I a kak cos sin d π = ⋅+ θ θθ θ ∫ 1 22 2 2 =− + πka a k o x y A 22 2 x + = y R x y O 2 y x = 2 x y O