第八章多元函数微分法及其应用第一节：多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学内容：第一节多元函数的基本概念一区域讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。1．邻域设p(xo,yo）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P。(xoyo）距离小于的点p(x,y)的全体，称为点P。的邻域，记为U(Po,)，即U(Po,0)=(PPP/ <8) ,也就是U(Po,8)=((x, ) 1 /(x-xo)~ +(y- yo)2 <8)。在几何上，U(Po,)就是xoy平面以上点p(xo,y）为中心、>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体。2.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P)CE，则称P为E的内点（画图8-1显示）。显然，E的内点属于E
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节：多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元 函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数 在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 第一节 多元函数的基本概念 一、 区 域 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先 把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。 1． 邻域 设 ( , ) 0 0 0 p x y 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一正数。与点 ( , ) 0 0 0 p x y 距离小于δ 的 点 p(, ) x y 的全体，称为点 P0 的δ 邻域，记为 ( , ) U P0 δ ，即 ( , ) U P0 δ ={ } P PP0 < δ ， 也就是 ( , ) U P0 δ = { (x, y)│ − + − < δ 2 0 2 0 (x x ) ( y y ) }。 在几何上， ( , ) U P0 δ 就是 xoy 平面以上点 ( , ) 0 0 0 p x y 为中心、δ > 0 为半径的圆的内 部的点 P(x, y) 的全体。 2． 区域 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点 P 的某一邻域U(P) ⊂ E ， 则称 P 为 E 的内点（画图 8-1 显示）。显然， E 的内点属于 E
如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，点集E,=((x,y)<x2+y2<4)中每个点都是E，的内点，因此E，为开集。如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点（可画图8-2显示）。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E的边界是圆周x+y?=1和x+y=4。设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，((x,)x+>0)及(x,y)l<x2+y24)都是区域。开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如((x,y) /x+y≥0)及((x,y) /1≤x2+y≤4)都是闭区域。对于点集E，如果存在正数K，使一切点PEE与某一定点A间的距离IAP不超过K，即AP≤k,对一切PEE成立则称E为有界点集，否则称为无界点集。例如，((x,y）11≤x2+y2≤4)是有界闭区域，((x,y)Ix+y>0)是无界开区域。3.n维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组（x,y）一一对应，从而二元数组（xy）全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组（xy,z）一一对应，从而三元数组（x，y,=）全体表示空间一切点的集合，即空间。一般地，设n为取定的一个自然数，我们称n元数组（x，r2，",x，）的全体为n维空间，而每个n元数组(x,x2，",x,）称为n维空间中的一个点，数x称为该点的第i个坐标。n维空间记为R"。n维空间中两点P(x,X2",x）及Q(x,X2，",x）间的距离规定为
如果 E 的点都是内点，则称 E 为开集。例如，点集 {( , )1 4} 2 2 E1 = x y < x + y < 中每 个点都是 E 1 的内点，因此 E 1为开集。 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ， 也可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点（可画图 8-2 显示）。E 的边界点的全体称为 E 的 边界。例如上例中， E 1 的边界是圆周 1 2 2 x + y = 和 2 2 x + y =4。 设 D 是开集。如果对于 D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称开集 D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，{(x, y) x + y > 0}及{( , )1 4} 2 2 x y < x + y < 都 是区域。 开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如 { (x, y)│ x + y ≥0}及{ (x, y)│1≤ 2 2 x + y ≤4} 都是闭区域。 对于点集 E ，如果存在正数 K，使一切点 P ∈ E 与某一定点 A 间的距离|A P |不超过 K， 即 |A P |≤k, 对一切 P ∈ E 成立， 则称 E 为有界点集，否则称为无界点集。例如，{ (x, y)│1≤ 2 2 x + y ≤4}是有界闭区域， { (x, y)│ x + y >0}是无界开区域。 3． n 维空间 我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合， 即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组(x, y)一一对应，从而二元数 组(x, y)全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三 元数组（ x, y,z ）一一对应，从而三元数组（ x, y,z ）全体表示空间一切点的集合，即空间。 一般地，设 n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组（ n x , x , , x 1 2 " ）的全体为 n 维空间， 而每个 n 元数组( , , , ) 1 2 n x x " x 称为 n 维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第 i 个坐标。n 维 空间记为 Rn 。 n 维空间中两点 ( , , , ) 1 2 n P x x " x 及 ( , , , ) 1 2 n Q x x " x 间的距离规定为
[Pg| = /(y -x,)2 +(y2 -x,)2 +...+(y, -x,)。容易验知，当n=1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去。例如，设P。ER”，是某一正数，则n维空间内的点集U(Po,0)=(PPP<8,PER")就定义为点P。的邻域。以邻域概念为基础，可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=mr*h。这里，当r、h在集合(r,h)r>0,h>0)内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。例2一定量的理想气体的压强P、体积V和绝对温度T之间具有关系RTp=V'其中R为常数。这里，当V、T在集合(V,T)V>0,T>O)时，p的对应值就随之确定。例3设R是电阻R、R并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系R,R,R=-R, + R2对应值就随之确定。上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义。定义一设D是平面上的一个点集。如果对于每个点P(x,Jy)eD，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x、y的二元函数（或点P的函数），记为z= f(x,y) (或z=f(P))
2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n PQ = y − x + y − x +"+ y − x 。 容易验知，当 n =1，2，3 时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点 的距离。 前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到 n 维空间中去。例如，设 n P0 ∈ R ，δ 是某一正数，则 n 维空间内的点集 ( , ) U P0 δ ={ , } 0 n P PP < δ P ∈ R 就定义为点 P0 的δ 邻域。以邻域概念为基础，可定义内点、边界点、区域、聚点等一系列 概念。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例 1 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r 、高 h 之间具有关系 V r h 2 = π 。 这里，当 r 、h 在集合{(r,h)r > 0, h > 0}内取定一对值(r,h) 时，V 的对应值就随之确定。 例 2 一定量的理想气体的压强 p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 p = V RT ， 其中 R 为常数。这里，当V 、T 在集合{(V,T)V > 0,T > 0}时， p 的对应值就随之确定。 例 3 设 R 是电阻 R1、 R2 并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R + = 对应值就随之确定。 上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可 得出以下二元函数的定义。 定义一 设 D 是平面上的一个点集。如果对于每个点 P(x, y) ∈ D ，变量 z 按照一定法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 z = f (x, y) （或 z = f (P) ）
点集D称为该函数的定义域，X、y称为自变量，z也称为因变量。数集(=z = f(x,y),(x,y)e D)称为该函数的值域。z是x,y的函数也可记为z=z(x,y)，z=Φ(x,y)等等。类似地可以定义三元函数u=f(x,J,=)以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，则可类似地可以定义n元函数u=f(x,x2,",x）。n元函数也可简记为u=f(P)，这里点P(x,x2,"",x）eD。当n=1时，n元函数就是一元函数。当n≥2时，n元函数就统称为多元函数。关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(P)时，就以使这个算式有确定值u的自变量所确定的点集为这个函数的定义域。例3，求下列函数的定义域1. z= ln(x+y)解：函数z=ln(x+y)的定义域为((x+y)x+y>0)（图8-3），就是一个无界开区域。2. z=arcsin(x2 +y)解：函数z=arcsin(x2+y）的定义域为(x+ y)x? + y? ≤1)（图8-4），这是一个闭区域。x+y=0
点集 D 称为该函数的定义域， x、y 称为自变量， z 也称为因变量。数集 {z z = f (x, y),(x, y) ∈ D} 称为该函数的值域。 z 是 x, y 的函数也可记为 z = z(x, y) ， z = Φ(x, y)等等。 类似地可以定义三元函数u = f (x, y,z) 以及三元以上的函数。一般的，把定义 1 中的 平面点集 D 换 成 n 维空间内的点集 D ，则可类似地可以定义 n 元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x " x 。 n 元函数也可简记为u = f (P) ，这里点 P(x1 , x2 ,", xn ) ∈ D 。当 n = 1时， n 元函数就是一元函数。当 n ≥ 2时，n 元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达 的多元函数u = f (P) 时，就以使这个算式有确定值 u 的自变量所确定的点集为这个函数的 定义域。 例 3，求下列函数的定义域 1． z = ln(x + y) 解 ：函数 z = ln(x + y)的定义域为 {(x + y) x + y > 0} （图 8-3），就是一个无界开区域。 2． arcsin( ) 2 2 z = x + y 解 ：函数 arcsin( ) 2 2 z = x + y 的定义域为 {( ) 1} 2 2 x + y x + y ≤ （图 8-4），这是一个闭区域。 x+y=0
图8-4图8-34.多元函数的几何意义设函数z=f(x,y)的定义域为D。对于任意取定的点 P(x,y)eD，对应的函数值为z=f(x,y)。这样，以x为横坐标、为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)。当(x,y)遍取D上的一切点时，得到一个空间点集((x,y,=)z= f(x,y),(x,y)e D) ,这个点集称为二元函数z=f(x,y）的图形（图8-5)。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。z = f(x,y)Z2y二元函数的图形通常是一张曲面例如，由空间解析几何知道，线形函数z=ax+by+c的图形是一张平面；由方程x2+y?+=2=α所确定的函数z=f(x,J)的图形是球心在圆点、半径的为α球面，它的定义域是圆形闭区域D=(x,J)x2+y2≤α2)。在D的内部任一点(x,J)处，这函数有两个对应值，一个为a2-x2-y2，另一个为一a2-x2-y2。因此，这是多值函数。我们把它分成两个单值函数：z=a2-x?-y2及z=-a2-x-y，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论
4．多元函数的几何意义 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D 。对于任意取定的点 P(x, y) ∈ D ，对应的函数值为 z = f (x, y) 。这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、z = f (x, y) 为竖坐标在空间就确定一点 M (x, y,z) 。当(x, y)遍取 D 上的一切点时，得到一个空间点集 {(x, y,z) z = f (x, y),(x, y) ∈ D}， 这个点集称为二元函数 z = f (x, y) 的图形（图 8-5）。通常我们也说二元函数的图形是一张 曲面。 二元函数的图形通常是一张曲面. z = f (x, y) D x y z O • M x y P 例如，由空间解析几何知道，线形函数 z = ax + by + c 的图形是一张平面；由方程 2 2 2 2 x + y + z = a 所确定的函数 z = f (x, y) 的图形是球心在圆点、半径的为 a 球面，它的 定义域是圆形闭区域 {( , ) } 2 2 2 D = x y x + y ≤ a 。 在 D 的内部任一点(x, y)处，这函数有 两个对应值，一个为 2 2 2 a − x − y ，另一个为— 2 2 2 a − x − y 。因此，这是多值函数。 我们把它分成两个单值函数： 2 2 2 z = a − x − y 及 2 2 2 z = − a − x − y ，前者表示上半 球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的； 如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。 图 8-3 图 8-4