第二章导数与微分S2.1导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义，理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌握教学内容：一、导数的定义与几何意义为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻1在直线上的位置的坐标为s（简称位置s）。这样，运动完全由某个函数s= f(0)所确定。这函数对运动过程中所出现的t值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程①所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为t。）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻t.到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置so=f(t。)移动到s,=f()。这时由①式算得的比值s-so =f()- f(o)②t-tot-to43
43 ① ② 第二章 导数与微分 §2.1 导数的概念 教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念，导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容： 一、导数的定义与几何意义 为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。 （1）直线运动的速度 设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数 1 的点），使直线成为数 轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为 s （简称位置 s ）。这样，运动完全由某个函数 s = f (t) 所确定。这函数对运动过程中所出现的t 值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动 点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值 经过的路程 所花的时间 总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的， 那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的 速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设 为 0t ）的速度应如何理解而又如何求得呢？ 首先取从时刻 0t 到t 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 ( ) 0 0 s = f t 移动到 s f ( )t t = 。这时由①式算得的比值 ( ) ( ) 0 0 0 0 t t f t f t t t s s − − = − −
可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻t。的速度。但对于动点在时刻t。的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令t→to，取②式的极限，如果这个极限存在，设为vo，1)-1C），这时就把这个极限值%称为动点在时刻1。的（瞬时）速度。即vo=limt-to2.切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线y=x2，在原点O处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线C及C上的一点M（图2-1），在点M外另取C上一点N，作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，ZNMT也趋于零。现在就曲线C为函数y=f(x)的图形的情形来讨论切线问题。设M(xo，y）是曲线C上的一个点（图2-2)，则y。=f(x）。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点M外另取C上的一点N(x，y)，于是割线MN的斜率为tan p = -yo_ L(a)- (ro),x-XoX-Xo其中?为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，X→xo如果当x→x时，上式的极限存在，设为k，即k= lim LLa)- /le)X→X0x-xo存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里k=tanα，其中α是切线MT的倾角。于是，通过点M(xo，f(x)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由ZNMT=-α以及x→x时→α，可见x→x时（这时MN→0），ZNMT→0。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。44
44 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实 践中也可用来说明动点在时刻 0t 的速度。但对于动点在时刻 0t 的速度的精确概念来说，这 样做是不够的，而更确切地应当这样：令 0 t → t ,取②式的极限，如果这个极限存在，设为 0 v ， 即 ( ) ( ) 0 0 0 0 lim t t f t f t v t t − − = → ，这时就把这个极限值 0 v 称为动点在时刻 0t 的（瞬时）速度。 2.切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只 有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线 2 y = x ，在原点O 处 两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有 x 轴是该抛物线在点O 处的切线。下面给出切 线的定义。 设有曲线C 及C 上的一点 M （图 2-1），在点 M 外另取C 上一点 N ，作割线 MN 。当 点 N 沿曲线C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT ,直线 MT 就 称为曲线C 在点 M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长 MN 趋于零，∠NMT 也 趋于零。 现在就曲线C 为函数 y = f ( ) x 的图形的情形来讨论切线问题。设 ( ) 0 0 M x ，y 是曲线C 上的一个点（图 2-2），则 ( ) 0 0 y = f x 。根据上述定义要定出曲线C 在点 M 处的切线，只 要定出切线的斜率就行了。为此，在点 M 外另取C 上的一点 N(x，y) ，于是割线 MN 的 斜率为 ( ) ( ) 0 0 0 0 tan x x f x f x x x y y − − = − − ϕ = ， 其中ϕ 为割线 MN 的倾角。当点 N 沿曲线C 趋于点 M 时， 0 x → x 。如果当 0 x → x 时， 上式的极限存在，设为 k ,即 ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x k x x − − = → 存在，则此极限 k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里 k = tanα ，其中α 是切线 MT 的倾角。于是，通过点 ( ) ( ) 0 0 M x ，f x 且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线C 在点 M 处 的切线。事实上，由 ∠NMT = ϕ −α 以及 0 x → x 时 ϕ →α ，可见 0 x → x 时（这时 MN → 0 ），∠NMT → 0。因此直线 MT 确为曲线C 在点 M 处的切线
我们撇开这些图2-1意义，抓住它们在数量关系上的共性线图2-2概念。定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在x。处取得增量△x（点xo+Ax仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Ay=f(x+△x)-f(xo)：如果Ay与Ax之比当Axr→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x。处可导，并称这个极限为函，即数y=f(x)在点xo处的导数，记为yJ(xo +Ax)- f(o)Ayylimim?r-0AxAr或df(x)dy也可记作f(x。），dx函数f(x)在点x。处可导有时也说成f(x)在点x。具有导数或导数存在。导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有f(x + h)-J(x。)F(x0)= lim.?h和[(x0)= lim ()- 1(x0)?X-Xo注：函数在一点的导数的几何与物理意义：f(x)是曲线y=f(x)在(xo，f(x)点的切线斜率；路程S=S()对时间t的导数S(t)是t。时刻的速度；在抽象情况下，(x）表示y=f(x)在x=x。点变化的快慢。二、可导与连续的关系兴=(s)存在。由具有极限的函数与无穷小设函数y=f(x)在点x处可导，即lim>0 △x45
45 ③ ④ ⑤ 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定义 设函数 y = f ( ) x 在点 0 x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处取得增量 Δx （点 x + Δx 0 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量 ( ) () 0 0 Δy = f x + Δx − f x ；如果 Δy 与 Δx 之比当 Δx → 0 时的极限存在，则称函数 y = f (x)在点 0 x 处可导，并称这个极限为函 数 y = f ( ) x 在点 0 x 处的导数，记为 0 x x y = ′ ，即 ( ) ( ) x f x x f x x y y x x x x Δ + Δ − = Δ Δ ′ = = Δ → Δ → 0 0 0 0 lim lim 0 ， 也可记作 ( ) 0 f ′ x ， 0 dx x x dy = 或 ( ) 0 dx x x df x = 。 函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导有时也说成 f (x)在点 0 x 具有导数或导数存在。 导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = → 和 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x − − ′ = → 注：函数在一点的导数的几何与物理意义： ( ) 0 f ′ x 是曲线 y = f (x)在( ( )) 0 0 x ，f x 点的切线 斜率； 路程 S = S( )t 对时间t 的导数 ( ) 0 S′ t 是 0t 时刻的速度； 在抽象情况下， ( ) 0 f ′ x 表示 y = f (x)在 0 x = x 点变化的快慢。 二、可导与连续的关系 设函数 y = f ( ) x 在点 x 处可导，即 f ( ) x x y x = ′ Δ Δ Δ →0 lim 存在。由具有极限的函数与无穷小 图 2-1 图 2-2
=()+α，其中α当Ax→0时为无穷小。上式两边同乘以Ax，得的关系知道，AxAy = f'(x)Ar + αAx 。由此可见，当△r→0时，Ay→0。这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的。所以，如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。三、左导数与右导数根据函数f(x)在点x。处的导数f'(xo）的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此f(x。）存在即f(x)在点x。处可导的充分必要条件是左、右极限( +h)- (0) 及 im (co +h)- (z)limhh都存在且相等。这两个极限分别称为函数F(x)在点x。处的左导数和右导数，记作f(x)及F(x)，即(0)- im ( +h)-(), (0) m +h)-).hh现在可以说，函数在点x处可导的充分必要条件是左导数f"(x。）和右导数f(x）都存在且相等。如果函数f(x)在开区间(a，b)内可导，且f"(a)及f(b)都存在，就说f(x)在闭区间[a，b]上可导。四、求导举例下面根据导数定义求一些简单函数的导数。例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数。f(x+h)-f(x)nC-=0，即(C)=0。这就是说，常数的导解：(x)=lim-limhh数等于零。例2求函数f(x)=x"（n为正整数）在x=a处的导数。46
46 的关系知道， = ′( ) +α Δ Δ f x x y ，其中α 当 Δx → 0 时为无穷小。上式两边同乘以 Δx ，得 Δy = f ′(x)Δx +αΔx 。 由此可见，当 Δx → 0 时，Δy → 0。这就是说，函数 y = f (x)在点 x 处是连续的。所以， 如果函数 y = f ( ) x 在点 x 处可导，则函数在该点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 三、左导数与右导数 根据函数 f ( ) x 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f ′ x 的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条 件是左、右极限都存在且相等，因此 ( ) 0 f ′ x 存在即 f (x) 在点 0 x 处可导的充分必要条件是左、 右极限 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →− 及 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →+ 都存在且相等。这两个极限分别称为函数 f (x) 在点 0 x 处的左导数和右导数，记作 ( ) 0 f x − ′ 及 ( ) 0 f x + ′ ，即 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = →− − ， ( ) ( ) () h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = →+ + 。 现在可以说，函数在点 0 x 处可导的充分必要条件是左导数 ( ) 0 f x − ′ 和右导数 ( ) 0 f x + ′ 都存在且 相等。 如果函数 f ( ) x 在开区间( ) a，b 内可导，且 f (a) + ′ 及 f (b) − ′ 都存在，就说 f ( ) x 在闭区间 [ ] a，b 上可导。 四、求导举例 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例 1 求函数 f (x) = C （C 为常数）的导数。 解： ( ) ( ) () lim lim 0 0 0 = − = + − ′ = → → h C C h f x h f x f x h h ，即( ) = 0 ′ C 。这就是说，常数的导 数等于零。 例 2 求函数 ( ) n f x = x （n 为正整数）在 x = a 处的导数
f(x)-f(a)x"-a"= lim(x"-l + ax"-2 +.+ a"-l解：f'(a)=lim)= na"-1imx-ax-ax-0→把以上结果中的α换成x得(a)=nx"-1，即(x"）=nx"l。更一般地，对于幂函数y=x（μ为常数)，有(x）=xu-l。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：11时，=x=V（x>0）的导数为当u=2-- (a) =E2/当=-1时，=x_！（x±0）的导数为x(x--) -(-1)x- = -x*2 ,例3求函数f(α)=sinx的导数解: ['(s)= lim (r+h)- (d)sin(x+h)-sinx h）1limlim.2cosx+sinhh-hh→00h22)hsin-h2=limcosl= COSX,x+2hh-→02(sin x)即cosx这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得(cosx）=-sinx，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4求函数f(x)=α（a>0，α1）的导数。ar+h-a*解: '(c)= lim(x+h)- (d)ah-1- limalimgInahhhh-0h→0h→0(a) =a' Ina。即这就是指数函数的导数公式。特殊地，当a=e时，因lne=1，故有=ere上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自已，这是以e为底的指数函数的一个重47
47 解： ( ) () () ( ) 1 2 1 1 lim lim lim − − − − → → → = + + + = − − = − − ′ = n n n n x a n n x a x a x ax a na x a x a x a f x f a f a " 。 把以上结果中的 a 换成 x 得 ( ) −1 ′ = n f x nx ，即( ) −1 = ′ n n x nx 。 更一般地，对于幂函数 μ y = x （ μ 为常数），有( ) −1 = ′ μ μ x μx 。这就是幂函数的导数公 式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当 2 1 μ = 时， y = x = x 2 1 （ x > 0）的导数为 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − = = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x ，即( ) x x 2 1 = ′ ； 当 μ = −1时， x y x 1 1 = = − （ x ≠ 0 ）的导数为 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 − − − − = − = − ′ x x x ，即 2 1 1 x x = − ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 。 例 3 求函数 f (x) = sin x 的导数 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2cos 1 lim sin sin lim lim 0 0 0 h h x h h x h x h f x h f x f x h h h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + + − = + − ′ = → → → x h h h x h cos 2 2 sin 2 limcos 0 ⎟⋅ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + → ， 即 ( ) sin x = cos x ′ 。 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 用类似的方法，可求得( ) cos x = −sin x ′ ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。 例 4 求函数 ( ) x f x = a （ a > 0，a ≠ 1）的导数。 解： ( ) ( ) ( ) a a h a a h a a h f x h f x f x x h h x x h x h h ln 1 lim lim lim 0 0 0 = − = − = + − ′ = → + → → 即 (a ) a a x x = ln ′ 。 这就是指数函数的导数公式。特殊地，当 a = e 时，因ln e = 1，故有 ( ) x x e = e ′ 。 上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一个重