线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 第二节方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结思考题 线性代数小组 第
线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第1页 第二节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结 思考题
线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 23:46 ,特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵，如果数2和n维非零列向量x 使关系式 Ax =Ax 成立，那末，这样的数称为方阵4的特征值，非零向 量x称为A的对应于特征值2的特征向量 说明1.特征向量x≠0，特征值问题是对方阵而言的. 2.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A-2E)x=0有非零解的2值，即满足方程A-2E =0的2都是矩阵A的特征值， 线性代数小组 笔而
线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第2页 说明 1.特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x A A Ax x A n n x =
线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 3.A-2E=0 01-2 l12 dyn 21 022-2 台 d2n =0 Anl Qn2 . m-2 称以2为未知数的一元次方程A-2E=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-2E,它是的n次多项式称其 为方阵4的特征多项式. 线性代数小组 第3项
线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第3页 3. A − E = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − n n nn n n a a a a a a a a a 称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式
线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 4.设n阶方阵A-(a)的特征值为21，入2，。， 2n,则有 ()1+九2+.+2n=a11+L22+.+0m (2)122.1n=A. 线性代数小组 第4页 U
线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第4页 ( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij = (1) ; 1 + 2 ++ n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12 n = A
线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 二、特征值与特征向量的求法 例1求A= 的特征值和特征向量. 解A的特征多项式为 3-2-1 -3-)2-1 -13-兄 =8-62+22=(4-2)(2-2) 所以A的特征值为21=2,22=4. 当几1=2时，对应的特征向量应满足 8 线性代数小组 第5页
线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第5页 解 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量 − − A = A的特征多项式为 − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = − + = − − 2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 2 1 1 = − − − − = x x 当 时 对应的特征向量应满足 二、特征值与特征向量的求法