第九章重积分$9.1二重积分的概念与性质教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质教学重点：二重积分的概念教学难点：二重积分概念的理解教学内容：一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积设有一空间立体Q,它的底是XOy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,J)。当(x,Jy)eD时,f(x,J)在D上连续且(x,J)≥0,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算，(I)、用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域△o,2，",A，以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体2分划成n个小曲项柱体△2，22，,2。A2;,这里0i既代表第1个小区域,又表（假设i所对应的小曲顶柱体为示它的面积值,42"i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）
第九章 重积分 §9.1 二重积分的概念与性质 教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质 教学重点：二重积分的概念 教学难点：二重积分概念的理解 教学内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是 xoy 面上的有界区域 D,它的侧面是以 D的边 界曲线为准线,而母线平行于 z 轴的柱面,它的顶是曲面 z = f (, ) x y 。 当(, ) x y D∈ 时, f (, ) x y 在 D 上连续且 f (, ) x y ≥ 0 ,以后称这种立体 为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算: (1)、用任意一组曲线网将区域 D分成n 个小区域 Δσ 1 2 , , Δσ " Δσ n ,以这 些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于 z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱 体Ω分划成n 个小曲顶柱体 ΔΩ1 2 , , ΔΩ " ΔΩn 。 （假设 Δσ i 所对应的小曲顶柱体为 ΔΩi ,这里 Δσ i 既代表第 i 个小区域,又表 示它的面积值, ΔΩi 既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
z,=f(5,.n.)JiY4YsXX(5iV=AQ从而i=1（将Q化整为零）(2)、由于F(x,J)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是A2, ~f(5,n,)Ao,(V(5,n,)eAo, )(以不变之高代替变高, 求 A2 的近似值)(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为V~Z f(5,n,)A0i=(积零为整，得曲顶柱体体积之近似值）(4)、为得到V的精值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此，我们引入区域直径的概念个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为，则nV = lim Z f(5,, n,)Ao;->0i=1
从而 V i i n = = ∑ ΔΩ 1 (将Ω化整为零) (2)、由于 f (, ) x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以 将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ΔΩ Δ Δ i ii i ii i ≈ f () () ξ η σ ( ) ∀ ξ η ∈ σ (以不变之高代替变高, 求ΔΩi 的近似值) (3)、整个曲顶柱体的体积近似值为 V f ii i i n ≈ = ∑ ( ) ξη σΔ 1 (积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值) (4)、为得到V 的精值,只需让这 n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收 缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ , 则 V f n ii i i = → = lim ( ) ∑ , λ ξη σ 0 1 Δ
（取极限让近似值向精确值转化）2、平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D，它在(x,y)处的面密度为p(x,J),这里P(x,y)>0,而且P(x,y)在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。yDA0,5nXo2.AaAo将D分成n个小区域Ao,Ao，Ao，用i记i的直径i既代表第i个小区域又代表它的面积。A= max(a,)很小时，由于P(x,J)连续，每小片区域的质量可近似当1<i≤n地看作是均匀的，那么第小i块区域的近似质量可取为p(5,n,)Ao)V(5,,n,)eAo;nM~ Zp(5,n,)Ao;i=1于是nM= lim Zp(5,,1nAg1-→0=1两种实际意义完全不同的问题，最终都归结同一形式的极限问题。因此有必要撇开这类极限问题的实际背景，给出一个更广泛、更抽象的数学概念二重积分。3、二重积分的定义
(取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xoy 面上的区域 D , 它在 (, ) x y 处的面密度为 ρ(, ) x y ,这里 ρ(, ) x y > 0,而且 ρ(, ) x y 在 D 上连续,现计算该平面薄片的质 量 M 。 将 D 分成 n 个小区域 Δσ Δσ Δσ n , , , 1 2 " 用 λ i记 i Δσ 的直径, i Δσ 既代表第 i 个小区域又代表它的面积。 当 λ = λ ≤ ≤ max{ } 1 i n i 很小时, 由于 ρ(, ) x y 连续, 每小片区域的质量可近似 地看作是均匀的, 那么第小i 块区域的近似质量可取为 ρ(,) (,) ξ η σ ξ η σ ii i ii i Δ ∀ ∈Δ 于是 M ii i i n ≈ = ∑ ρξ η σ (,)Δ 1 M ii i i n = → = lim ( , ) ∑ λ ρξ η σ 0 1 Δ 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必 要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念_ 二重 积分。 3、二重积分的定义
设(x,J)是闭区域D上的有界函数，将区域D分成个小区域Aoi,Ao2,"",Aon,2其中：Aαi既表示第i个小区域，也表示它的面积，i表示它的直径。A= max(a,)l<i<nV(5),n,)eA0;f(5,n,)Ao,(i=1,2,.,n)作乘积≥f(5,n,)A0;i=1作和式nlim f(5,n,)A存在,则称此极限值为函数f(x,J)在区域2→0i=1若极限Jl f(x, y)doD上的二重积分,记作DJJ f(x, y)do = lim Z f(5,n,)Ao;0;=1D即其中：f(x,y)称之为被积函数，f(x,y)do称之为被积表达式,do称之为面积元素，X，Y称之为积分变量,D称之为积分区域，≥f(5, n,)/0,i=l称之为积分和式。4、几个注意事项(1)、二重积分的存在定理若J(x,J)在闭区域D上连续，则F(x,J)在D上的二重积分存在。声明：在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在
设 f (, ) x y 是闭区域 D上的有界函数, 将区域 D分成个小区域 ΔΔ Δ σ 1 2 , , σ " σ n , 其中: Δσ i既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, λ i表示它的直径。 λ = λ ≤ ≤ max{ } 1 i n i ∀ ∈ (,) ξ η σ ii i Δ 作乘积 f in ii i ( , ) , , ξ η Δσ ( ) =1 2 " 作和式 f ii i i n (,) ξη σΔ = ∑ 1 若极限 lim ( , ) λ ξη σ → = ∑ 0 1 f ii i i n Δ 存在,则称此极限值为函数 f (, ) x y 在区域 D上的二重积分,记作 f x yd D (, ) ∫∫ σ 。 即 f x yd f D ii i i n ( , ) lim ( , ) ∫∫ = ∑ → = σ ξη σ λ 0 1 Δ 其中: f (, ) x y 称之为被积函数, f (, ) x y dσ 称之为被积表达式,dσ 称之为面积元素, x, y 称之为积分变量, D称之为积分区域, f ii i i n (,) ξη σΔ = ∑ 1 称之为积分和式。 4、几个注意事项 (1)、二重积分的存在定理 若 f (, ) x y 在闭区域 D上连续, 则 f (, ) x y 在 D上的二重积分存在。 声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在
J f(x, y)doAo;(2)、D中的面积元素do象征着积分和式中的iyDdydax0dc由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D，那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外，绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将do记作dxdy（并称dxdy为直角坐标系下的面积元JJ f(x, y)dxdy素),二重积分也可表示成为D(3)、若J(x,J)≥0,二重积分表示以J(x,J)为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1、【线性性质】JJ[α. f(x, y)+ β.g(x, y)]d = α Jj f(x, y)do + β- JJ g(x,y)]do.D其中:α,β是常数。2、【对区域的有限可加性】若区域D分为两个部分区域D,D2,则J f(x,y)do=JJ f(x, y)do + J f(x, y)do0DD2
(2)、 f x yd D (, ) ∫∫ σ 中的面积元素dσ 象征着积分和式中的Δσ i 。 由于二重积分的定义中对区域 D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的 直线来划分区域 D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区 域都是矩形,因此,可以将 dσ 记作 dxdy (并称 dxdy 为直角坐标系下的面积元 素),二重积分也可表示成为 f x y dxdy D (, ) ∫∫ 。 (3)、若 f (, ) x y ≥ 0,二重积分表示以 f (, ) x y 为曲顶,以 D为底的曲顶柱体的 体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性质】 ∫∫ ∫∫ [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )] α ⋅ +⋅ f xy gxy d f xyd gxy d β σ = α ⋅∫∫ σ + β ⋅ σ D D D 其中: α , β 是常数。 2、【对区域的有限可加性】 若区域 D分为两个部分区域 D1 2 , D ,则 f xyd f xyd f xyd D D D ∫∫ ∫∫ (, ) (, ) (, ) σ =∫∫ σ + σ 1 2