从有限向无穷发展，在数学上是一种自然的趋势。无穷级数就是这一趋势的产物。无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章先将常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为函数项级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式一一泰勒级数展开式和付立叶级数展开式。第一节常数项级数的概念和性质教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件教学重点：级数收敛与发散概念教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题教学内容：一、常数项级数的概念AY1.1.引入如图求曲边梯形的面积，可以表示成n个内接矩形的面积的和的极限；有："()x=A=lima,=lim(,)Ax,101bxao=l1→=一般地，有下面定义：2.定义：设已给序列)．u,uz,us，.Zu.数学式子u+u,+u+..+u,+“，称为无穷级数，简称级数，其中"n叫或记为做级数的通项，或一般项。1213注：（1）各项都是常数的级数叫做常数项级数，如台nl，n(n+1)等。5x"sinnx2（2）各项是函数的级数，称为函数项级数，如台而2"等。（3）作常数项级数的前n项的和S,=ut+uz+u,++un，S#称为级数的部分和。从而的一个新的序列：S,=u，S,=u+uz，S,=u+uz+us"S, =u, +u, +uy +...+un,..Zu.Zu,limS,=S“"的部分和数列(s,）有极限S，即lim3.定义：如果级数=，则称级数=Zu,=s收敛，这时极限S叫做这级数的和，记为二Zu.注：（1）如果(Ss,）没有极限，则称级数“”发敏。(2）此时称『，=S-S,为级数第n项以后的余项
从有限向无穷发展,在数学上是一种自然的趋势。无穷级数就是这一趋势的产物。 无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章先将常数项级数，然后研究函数项级数，最 后研究把函数展开为函数项级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数 展开式和付立叶级数展开式。 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基 本性质及收敛的必要条件 教学重点：级数收敛与发散概念 教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容： 一、常数项级数的概念 1． 1． 引入 如图求曲边梯形的面积，可以表示成 n 个内接矩形的面积的 和的极限；有： i n i i n i i n b a f x dx = A = ∑a = ∑ f Δx ∫ →∞ =1 →∞ =1 ( ) ( ) lim lim ξ λ 一般地，有下面定义： 2．定义： 设已给序列{ } un ：u1 ,u2 ,u3 ,"un ," 数学式子 u1 + u2 + u3 +"+ un +"或记为 ∑ ∞ n=1 un ，称为无穷级数，简称级数，其中un 叫 做级数的通项，或一般项。 注：（1）各项都是常数的级数叫做常数项级数，如 ∑ ∞ =1 ! 1 n n ， ∑ ∞ =1 ( +1) 1 n n n 等。 （2）各项是函数的级数，称为函数项级数，如 ∑ ∞ =1 2 n n n x ， ∑ ∞ =1 2 sin n n nπx 等。 （3）作常数项级数的前 n 项的和 Sn = u1 + u2 + u3 +"+ un ， Sn 称为级数的部分 和。从而的一个新的序列： 1 1 S = u ， 2 1 2 S = u + u ， S3 = u1 + u2 +u3 ,"， Sn = u1 + u2 + u3 +"+ un ," 3.定义：如果级数 ∑ ∞ n=1 n u 的部分和数列{Sn }有极限 S ，即 S S n n = →∞ lim ，则称级数 ∑ ∞ n=1 n u 收敛，这时极限 S 叫做这级数的和，记为 u S n ∑ n = ∞ =1 注：（1）如果{Sn }没有极限，则称级数 ∑ ∞ n=1 n u 发散。 （2）此时称 n S Sn r = − 为级数第n 项以后的余项。 X Y 0 a b
例1.判断下列级数的敛散性：1()2(2)ZIn(1 +.in(n+1)n111N"WS,=i+1i(i+1)i/1i=1解： (1)-111=(1-0+(223n+1n + 11W1A1=1lim S,=1,台n(n+1)收敛，且台n(n+1)故即nn1i+1 In(1 +Zn-Sn=ii1=111234n+1= In(n + 1),= lIn(=1 23n(2)≥ In(1+ l)lim s, = lim In(n + 1) = +o0,n发散.故即级数例2．证明等比级数（几何级数）a+ag+ag”+…+aq"+…(a*0）当l<1时收敛，当9≥1时发散。S, =a+ag+aq”+..+aq"+ =a.|-q"1-q证明：当q+1时其前n项和.1-q"alimS, =limalimg"=0若[<1 1-q，即当11-qn00，于是1-→时等比级数收敛，则-→0alim|l" = 00[g| >1S，是无穷大量，级数发散。且其和为1-q。当n→8时，则 n→αS, = na,lim S, = oo若=1，则级数成为a+a+a+，于是，级数发散。若q=-l，则级数成为α-a+a-a+…，当n为奇数时，S,=a，而当n为偶数时，S，=0。当n→时，S,无极限，所以级数也发散。二、收敛级数的基本性质由级数收敛性定义，可得下面性质ZunZkunZku, =kun性质1若级数=“收敛，其和为S，又k为常数，则合n=l也收敛，且（级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。）7Z(u, ±v)=s±oZun=s,Zy,=g=，则性质2若已知二收敛=（两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减）性质3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性性质4收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛，而且其和不变
例 1. 判断下列级数的敛散性: ; ( 1) 1 (1) 1 ∑ ∞ n = n n + ). 1 ( 2 ) ln( 1 1 ∑ ∞ = + n n 解: (1) ∑ ∑ = = + = − + = n i n i n i i i i s 1 1 ) 1 1 1 ( ( 1) 1 . 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1 + = − + = − + − + + − n n n " 故 lim = 1, → ∞ n n s 即 ∑ ∞ =1 ( + 1) 1 n n n 收敛, 且 1 ( 1) 1 1 = + ∑ ∞ n = n n . (2) ) ln( 1), 1 3 4 2 3 1 2 ln( ) 1 ) ln( 1 ln(1 1 1 = + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑ + = ∑ = = n n n i i i s n i n i n " 故 lim = lim ln( + 1) = +∞ , → ∞ → ∞ s n n n n 即级数 ∑ ∞ = + 1 ) 1 ln( 1 n n 发散. 例 2. 证明等比级数（几何级数） ( 0) 2 1 + + + + + ≠ − a aq aq aq a " n " 当 q < 1时 收敛，当 q ≥ 1时发散。 证明：当 q ≠ 1时其前 n 项和 q q S a aq aq aq a n n n − − = + + + + = ⋅ − 1 2 1 1 " 若 q < 1，则 lim = 0 →∞ n n q ，于是 q a q q S a n n n n − = − − = →∞ →∞ 1 1 1 lim lim ，即当 q < 1时等比级数收敛， 且其和为 q a 1− 。当 q > 1，则 = ∞ →∞ n n lim q 。 n → ∞ 时， Sn 是无穷大量，级数发散。 若 q = 1，则级数成为 a + a + a +"，于是 = = ∞ →∞ n n n S na,lim S ，级数发散。 若 q = −1，则级数成为 a − a + a − a +"，当 n 为奇数时， Sn = a ，而当 n 为偶数时， = 0 n S 。当 n → ∞ 时， n S 无极限，所以级数也发散。 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义，可得下面性质 性质 1 若级数∑ ∞ n=1 un 收敛，其和为 S ，又k 为常数，则∑ ∞ n=1 n ku 也收敛，且 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 n 1 n n kun k u （级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。） 性质 2 若已知二收敛∑ = ∑ = σ ∞ = ∞ =1 1 , n n n n u s v ，则∑ ± = ±σ ∞ = u v s n n n 1 ( ) （两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 性质 3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质 4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级 数仍然收敛，而且其和不变
推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。Z(1-1)注：例如二是收敛的，但级数1-1+1-1+1-1+.·发散。Zu.limun=0性质5.级数收敛的必要条件：若级数=收敛，则n→2u.-slimS,=Slim Sn- = S证明：设二，即n-，所以，则limu,=lim(S,-Sn-)=limS,-limS,-,=S-S=0Zu.推论若级数=的通项"n，当n→时不趋于零，则此级数必发散。小结：本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如Z(n+1- n)(1) =: S, = 2(V/k+1- /k)= (V2-1)+(V3 - /2)+(V4 - V3)+..+(Vn+1- /nk=l= /n+1-2→0(n→)..级数发散(1+++++23+33(2)(3(2.2n3n1?=+1111q=2'3n=12″“级数为胎(2"3″-3"，分别为等比级数且..原级数收敛1111+...++.(3)3/31u,=“不趋于零(n→)..原级数发散
推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。 注：例如∑ ∞ = − 1 (1 1) n 是收敛的，但级数1−1+1−1+1−1+"发散。 性质 5.级数收敛的必要条件: 若级数 ∑ ∞ n=1 n u 收敛，则 lim = 0 →∞ n n u 证明： 设 u S n ∑ n = ∞ =1 ，即 S S n n = →∞ lim ，则 S S n n − = →∞ 1 lim ，所以 lim lim( ) lim lim 0 = − 1 = − −1 = − = →∞ →∞ − →∞ →∞ u S S S S S S n n n n n n n n n 推论 若级数 ∑ ∞ n=1 un 的通项un ，当 n → ∞ 时不趋于零，则此级数必发散。 小结：本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 ⑴ ∑( ) ∞ = + − 1 1 n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − → ∞( ) → ∞ = ∑ + − = − + − + − + + + − = n n S k k n n n k n 1 2 1 2 1 3 2 4 3 1 1 ∵ " ∴级数发散 ⑵ " ⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 3 ∵级数为 ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 n n n n n n n ，分别为等比级数且 3 1 , 2 1 q = ∴原级数收敛 ⑶ + + +"+ n +" 3 1 3 1 3 1 3 1 3 n un 3 1 ∵ = 不趋于零(n → ∞) ∴原级数发散
第二节常数项级数的审敛法教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念。教学难点：任意项级数收敛性的判别方法教学内容：一、正项级数及其审敛法每项均为非负的级数称为正项级数设级数u+uz+u,+….+u,+是一个正项级数(u,≥0)，它的部分和数列(S,)显然是一个单调增加数列S,S,S,…≤S,…，从而有2Zun定理1正项级数台“”收敛它的部分和数列(S,)有界。推论：如果正项级数台发散，则它的部分和数列S，→+α(n→)定理2（比较审敛法）已知二正项级数u+uz+u,+…+u,+(A)V+V2 +vs+...+y, +...(B)(1）若级数(A)收敛且对大于某个正整数的一切n，都有V，≤un则级数(B)也收敛；(2)若级数(A)发散且对大于某个正整数的一切n，都有V，≥ua，则级数(B)也发散。证明设4n和B,分别表示级数(A)和(B)的前n项和im4,=A存在，又因(4,)↑，故4,≤A。根据级数基本性质3，不妨认为(1已知nZsZukuk，即BAn，故B,≤A,A，即B）有上界，在n≥1时≤un，因而台k=l2v.lim B,”存在，即二”收敛所以-2v.Zun收敛，则因已设"，≤v，由(1)推知=(2）用反证法，若二收敛，与题设矛盾，2v.故发散。Zu.Zv.Zy推论设=”和=“都是正项级数，如果级数=收敛，且存在自然数N，使得n≥N2v.时有"，≤kv,(k>0)成立，则级数收敛：如果级数=发散，且当n≥N时有uu,≥kv,(k>0)成立，则台""发散
第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判 别法，绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数u1 + u2 + u3 +"+ un +"是一个正项级数( ≥ 0) un ，它的部分和数列{ } Sn 显然 是一个单调增加数列： S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ " ≤ Sn ≤ "，从而有 定理 1 正项级数∑ ∞ n=1 n u 收敛⇔ 它的部分和数列{Sn }有界。 推论：如果正项级数∑ ∞ n=1 n u 发散，则它的部分和数列 Sn → +∞ (n → ∞) 定理 2（比较审敛法）已知二正项级数u1 + u2 + u3 +"+ un +" (A) v1 + v2 + v3 +"+ vn +"( ) B ⑴ 若级数( ) A 收敛且对大于某个正整数的一切n ，都有 n un v ≤ 则级数( ) B 也收敛； ⑵ 若级数( ) A 发散且对大于某个正整数的一切n ，都有 n un v ≥ ，则级数( ) B 也发散。 证明 设 An 和 Bn 分别表示级数(A)和(B)的前 n 项和 ⑴ 已知 An A n = →∞ lim 存在，又因{An }↑ ，故 An ≤ A 。根据级数基本性质 3，不妨认为 在 n ≥ 1时 n un v ≤ ，因而∑ ∑ = = ≤ n k k n k vk u 1 1 ，即 Bn ≤ An ，故 Bn ≤ An ≤ A，即{ } Bn 有上界， 所以 n n B →∞ lim 存在，即∑ ∞ n=1 n v 收敛 ⑵ 用反证法，若 ∑ ∞ n=1 n v 收敛，则因已设 n n u ≤ v ，由⑴推知 ∑ ∞ n=1 n u 收敛，与题设矛盾， 故∑ ∞ n=1 n v 发散。 推论 设∑ ∞ n=1 n u 和∑ ∞ n=1 n v 都是正项级数，如果级数∑ ∞ n=1 n v 收敛，且存在自然数 N，使得 n≥N 时有 u ≤ kv (k > 0) n n 成立，则级数 ∑ ∞ n=1 n u 收敛；如果级数 ∑ ∞ n=1 n v 发散，且当 n≥N 时有 u ≥ kv (k > 0) n n 成立，则∑ ∞ n=1 un 发散
1111+23是发散的例1证明调和级数n图11-2-1 !y=xy证明由微分学可证得一个不等式x>In(1+x)，当x>0时，（如图示）11:.1> In(1+ 1)+ In/ 1 +...+Inl1+SL=1+:+In1+323nn由2n+1)++..+inn+=In2+lmIn(1 +n) → +00(n → 0)In-n y= In(1+x)3no所以调和级数发即1111+的收敛性，其中常数P>0例2讨论P-级数2P3Pnp2111解设p≤1，则nPn，但调和级数发散，由定理2可知，当p≤1时级数台nP发散二<1设p>l，当n-1≤x≤n时，有npxP1111dx≤drn-1 xPJn-Inpp-1[(n-1)p-i所以npnp(n=2,3,...)1..()(n-1)P-T--np-1考虑级数=2L其部分和1[23-S,=1-→1(n→)(n+I)p-I2p-1np-l(n +1)p故级数（*）收敛，由定理2知，级数n当P>1时收敛，综上，得当p-级数，当p>1时收敛，当p≤1时发散00Zu.Zr和定理3（比较法的极限形式）设=都是正项级数，如果Zualim=1,(0 ≤1<+0) 2v.(1) "-→0 vn，且级数=“收敛，则级数=“收敛。2r.lim =/>0或 lim "rZun=+80,→Vn"Vn(2)且级数n=“发散，则级数=发散。un<1+1,由极限定义可知，对于ε=1，N，使当n>N时，有Vn，即证明（1）Zu.u，<(1+1)，再由比较审敛法可得级数台收敛
例 1 证明调和级数 + + +"+ +" n 1 3 1 2 1 1 是发散的 图 11-2-1 证明 由微分学可证得一个不等式 x > ln(1+ x)，当 x > 0时，（如图示） 由 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + > + + + n n Sn 1 ln 1 3 1 ln 1 2 1 ln 1 1 ln 1 1 3 1 2 1 1 " " ln(1 ) ( ) 1 3 4 2 3 ln 2 1 ln 3 4 ln 2 3 ln 2 ln ⎟ = + → +∞ → ∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + + + + n n n n n n " " 即∑ ∞ = = +∞ 1 1 n n ，所以调和级数发散。 例 2 讨论 p − 级数 + p + p +"+ p +" n 1 3 1 2 1 1 的收敛性，其中常数 p > 0 解 设 p ≤ 1，则 n n p 1 1 ≥ ，但调和级数发散，由定理 2 可知，当 p ≤ 1时级数 ∑ ∞ =1 1 n p n 发 散 设 p > 1，当 n −1 ≤ x ≤ n时，有 p p n x 1 1 ≤ ， 所以 ∫ ∫ − − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ≤ = n n n n p p p p p p n n dx x dx n 1 1 n 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 (n = 2,3,") 考虑级数 ( ) * 1 ( 1) 1 2 ∑ 1 1 "" ∞ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − n − p p n n 其部分和 1( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 → → ∞ + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − − n n n n Sn p p p " p p p 故级数（*）收敛，由定理 2 知，级数∑ ∞ =1 1 n p n 当 p > 1时收敛，综上，得 当 p − 级数，当 p > 1时收敛，当 p ≤ 1时发散 定理 3（比较法的极限形式）设∑ ∞ n=1 n u 和∑ ∞ n=1 n v 都是正项级数，如果 （1） lim = ,(0 ≤ < +∞) →∞ l l v u n n n ，且级数∑ ∞ n=1 n v 收敛，则级数∑ ∞ n=1 un 收敛。 （2） = > 或 = +∞， →∞ →∞ n n n n n n v u l v u lim 0 lim 且级数∑ ∞ n=1 n v 发散，则级数∑ ∞ n=1 n u 发散。 证明（1） 由极限定义可知，对于ε = 1， ∃N ，使当 n > N 时，有 < l +1, v u n n ，即 n n u < (l +1)v ，再由比较审敛法可得级数∑ ∞ n=1 n u 收敛。 y = ln(1+ x) y O x y = x