第七章第一节：空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离教学难点：空间思想的建立教学内容：空间直角坐标系一.1、将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7一1，其符合右手规则。2各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图7一2所示。3.空间点M(x,y,=)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。图图7-17-2二，空间两点间的距离若M(x1,y1,=1)、M(x2,J2,z2)为空间两点，则距离（见图7一3）为d =[M,M,/= /(x, -x)2 +(y2 -y) +(=2 -z,)图7-3例：已知两点A(X,J1,2)和B(x2,J2,2）以及实数-1,在直线AB上求点M,使
第七 章 第一 节：空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一．空间直角坐标系 1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三 维）如图 7－1，其符合右手规则。 2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图 7－2 所示。 3. 空间点 M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。 图 7－1 图 7－2 二．空间两点间的距离 若 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点， 则距离（见图 7－3）为 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 d = M M = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 图 7－3 例：已知两点 1 11 2 2 2 Ax y z Bx y z (, ,) (, , ) 和 以及实数 λ ≠ −1, 在直线 AB 上求点 M, 使
AM=入MB解：设M(x,y,=)为直线上的点，AM =(x-X,y-y,z-2), MB=(2 -x,J2 -y,22 -2)(x-x,y-y1,z-z)=(x2 -x,2 -y,22 -2)x+2x2x-x=a(x -x)=x=21+元3+元22+，=同理，得y=1+1+元
AM MB = λ 解：设 M (, ,) xyz 为直线上的点, 1 11 AM x xy yz z =− − − (, ,) JJJJG ， 222 MB x xy yz z = (, ,) −−− JJJG 1 11 2 2 2 ( , , )( , , ) x − − −= − − − x y y z z x xy yz z λ 1 2 1 2 () , 1 x x xx x x x λ λ λ + − = − ⇒= + 同理,得 1 2 12 , . 1 1 yy zz y z λ λ λ λ + + = = + +
第七章第二节：向量及其运算一，向量的概念●向量：既有大小，又有方向的量：●在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向；在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）：●向量的表示方法有a、i、F、OM等等。向量相等=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量）。●向量的模：向量的大小，记为al、oM。●模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。向量平行a/b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。二，向量的运算●加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率向量与数的乘法：a。其满足的运算规律有结合率、分配率。设a”表示V与非零向量a同方向的单位向量，那么a°=[al·定理1：设向量a0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数^，使b=a●例子：家例1：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。（图7一4）图7-4例2：试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形AM-MCBM = MD解：AD-AM+ MD- MC +BM-BC
第七 章 第二 节：向量及其运算 一．向量的概念 ● 向量：既有大小，又有方向的量； ● 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示 向量的方向； ● 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）； ● 向量的表示方法有 a、i、F、OM 等等。 ● 向量相等 a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全 重合的向量）。 ● 向量的模：向量的大小，记为 a 、 OM 。 ● 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任 意的。 ● 向量平行 a∥b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如 何向量都平行。 二．向量的运算 ● 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和 结合率 ● 向量与数的乘法：λa 。其满足的运算规律有结合率、分配率。设 0 a 表示 与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a a0 = ● 定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在 唯一的实数λ，使 b＝λa ● 例子： 例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a ， AD = b ， 试用 a 和 b 表示向量MA、MB 、MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（图 7－4） 图 7－4 例 2: 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 解： AM MC = JJJJG JJJJG ∵ BM MD = JJJJG JJJJG AD = AM + MD = MC + BM = BC ∴
ADIBC且AD=BC结论得证例：设a,b,c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a+6与c共线，b+与a共线证明：a+b+c=0证：a+b=c,+=μa,,为常数上两式相减得：a-=-ua=(1+μ)a=(1+),而a与不共线故只能1+=0,且1+μ=0即=-1,=-1→++=0.b-3a例：化简a-b+552b-3a2a-(1-3)a解：a-b+5255例：设P在x轴上,它到点P(0,V2,3)的距离为到点P(0,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标解：设P点坐标为(x,0,0)[PP|= /x2 +(V2) +32 = Vx2 +11PP|= /x2 +(-1)* +1 = /x2 + 2:|PP|= 2|PP|: Vx2 +11 = 2/x2 +2=x=±1所求点为(1,0,0),(-1,0,0)例O是轴u坐标原点，A、B坐标依次为u，u的两个点é是与轴u同方向的单位向量(如图),证明:AB=(uz-u)e因点A的坐标为u,即OA=u,故OA=ue同理OB=ue.于是AB=OB-OA=ué-ué=(u,-u）e
⇒ AD // BC 且 AD BC = 结论得证. 例：设 abc , , G G G 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线, 但 a b + G G 与c G 共线, b c + G G 与 a G 共线. 证明： abc ++= 0. G G G G 证： ab c + = λ , G G G bc a + = μ , G G G λ,μ 为常数. 上两式相减得： ac c a −= − λ μ GG G G ⇒+ =+ (1 ) (1 ) , . μ a c ac λ G G GG 而 与 不共线 故只能 且 1 0, 1 0. += += λ μ λ μ =− =− ⇒ + + = 1, 1 0. abc G G G G 即 例：化简 1 3 5 2 5 b a ab b ⎛ ⎞ − −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G G G 解： 1 3 5 2 5 b a ab b ⎛ ⎞ − −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G G G 5 1 (1 3) 1 5 2 5 a b ⎛ ⎞ = − +−− + ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G 5 2 2 =− − a bG G 例： 1 设 在 轴上 它到点 Px P , (0, 2,3) 的距离为到 2 点P (0,1, 1) − 的距离的两倍,求点 P 的坐标. 解：设 P 点坐标为( ,0,0) x 2 22 2 1 PP x x = + += + ( 2) 3 11 2 22 2 2 PP x x = +− + = + ( 1) 1 2 2 2 1 2 ∵ PP PP x x = ∴ += + 2 11 2 2 ⇒ =± x 1所求点为 (1,0,0),( 1,0,0) − 例 O u 是轴 坐标原点, 1 2 A B uu 、 坐标依次为 , . e u G 的两个点 是与轴 同方向的单位向 量 如图 ( ), 2 1 : ( ). AB u ue = − JJJG G 证明 111 A u OA u OA u e , , = = JJJG G 因点 的坐标为 即 故 2 OB u e = . JJJG G 同理 于是 AB OB OA = − JJJG JJJG JJJG 2 1 21 = ue ue u u e −=− ( ). G G G
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业：
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对 向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向 量运算。 作业：