《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 函数与极限

高等数学讲义一、课程概况课程编号：课程学时：184（B）【192（A）】（其中，讲课184（B）「192（A）1，其他0）课程学分：11.5（B）【12（A）】课程分类：必修开设学期：秋季、春季开课单位：理学院应用数学系二、内容简介高等数学一直是我国工科院校必修的重要基础理论课程，近年来，也逐步成为管理等其它学科的必修课。高等数学不仅仅是为后继课程提供必要的基础知识，更重要的是培养学生的归纳和抽象的思维能力，从具体到一般的联想能力，正确演绎推理能力及动手运算能力。通过掌握数学的思想方法，激发学生的创造力，为培养适应现代化高速发展的高科技需要的高级工程技术人才服务。高等数学（B）以微积分学为核心，由函数与极限、函数的微分学、函数的积分学、级数和微分方程五部分组成。函数与极限部分的主要内容：一元、多元函数概念；数列的极限；一元、多元函数的极限；重点是数列及一元函数的极限。微分学部分的主要内容是一元、多元函数的微分法：导数、偏导数的应用。积分学的主要内容是不定积分；定积分；重积分；曲线、曲面积分。级数部分的主要内容有数项级数、幂级数和傅里叶级数。微分方程的主要内容包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程及全微分方程；高阶线性微分方程；常系数线性微分方程。高等数学（A）是在高等数学（B）的基础上添加失量分析与场论的基本概念、基本理论和运算技能。三、其它1.本学期学时与教学内容2.教学主要环节：课堂讲授与习题课相接合3.作业要求：4.成绩：期末考试、平时成绩1

高等数学讲义 一、课程概况 课程编号: 课程学时: 184（B）[ 192（A）] （其中，讲课184（B）[ 192（A）]，其他 0 ） 课程学分：11.5（B）[ 12（A）] 课程分类: 必修 开设学期: 秋季、春季 开课单位: 理学院应用数学系 二、内容简介 高等数学一直是我国工科院校必修的重要基础理论课程，近年来，也逐步成 为管理等其它学科的必修课。高等数学不仅仅是为后继课程提供必要的基础知 识，更重要的是培养学生的归纳和抽象的思维能力，从具体到一般的联想能力， 正确演绎推理能力及动手运算能力。通过掌握数学的思想方法，激发学生的创造 力，为培养适应现代化高速发展的高科技需要的高级工程技术人才服务。 高等数学（B）以微积分学为核心，由函数与极限、函数的微分学、函 数的积分学、级数和微分方程五部分组成。函数与极限部分的主要内容: 一 元、多元函数概念；数列的极限；一元、多元函数的极限；重点是数列及一 元函数的极限。微分学部分的主要内容是一元、多元函数的微分法；导数、 偏导数的应用。积分学的主要内容是不定积分；定积分；重积分；曲线、曲 面积分。级数部分的主要内容有数项级数、幂级数和傅里叶级数。微分方程 的主要内容包括可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程及全 微分方程；高阶线性微分方程；常系数线性微分方程。 高等数学（A）是在高等数学（B）的基础上添加矢量分析与场论的基本概念、 基本理论和运算技能。 三、其它 1. 本学期学时与教学内容 2. 教学主要环节：课堂讲授与习题课相接合 3. 作业要求： 4. 成绩：期末考试、平时成绩 1

第一章函数与极限$1.1函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解教学内容：一、函数的概念1.函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数xED，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y-(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。2.定义域的求法原则（1）分母不为零(2)Vx,x≥0(3)lnxx>0(4)arcsinxarccosx-1≤x≤1（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求y=/4-x2+In(x2-1)的定义域解：4-x2≥0且x2-1≥0-2≤x≤2且x<-1或x>1：定义域为[-2,-1)(-1,2]3.分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数[x+1, x≥1如(x)=[x-1, x<1x=1称为分段点4.复合函数若y=f(u）u=p(x)，当p(x)的值域落在f(u)的定义域内时称y=f[o(x)是由中间变量u复合成的复合函数。2

第一章 函数与极限 §1.1 函数 教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备 教学重点：函数的概念，函数的各种性态 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解 教学内容： 一、函数的概念 1. 函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于给定的 每个数 x∈D，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数，记作 y=f(x)，数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因 变量。y 的取值范围叫函数的值域。 2. 定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2） ，xx ≥ 0 （3） xx > 0ln （4）arcsin arccos − ≤ xxx ≤ 11 （5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例 1 求 ( 1ln4 2 2 xxy −+−= )的定义域 解： 且04 2 x ≥− 01 2 x ≥− ≤− x ≤ 22 且 或 x −< 1 x > 1 ∴定义域为[ ， )∪−− (− ，2112 ] 3. 分段函数 用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数 如 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥+ = 11 11 xx xx xf ， ， x = 1称为分段点 4. 复合函数 若 = () () = ϕ xuufy ，当ϕ(x)的值域落在 (uf )的定义域内时 称 = [ϕ( ) xfy ]是由中间变量 u 复合成的复合函数。 2

例2y=Vuu=2+sinx可复合成y=2+sinx注意：y=vuu=sinx-2就不能复合。例3y=arctan2可以看作是y=arctanu，u=2"，v=x复合成的复合函数。5.反函数设函数的定义域为D,，值域为V,。对于任意的yeV,，在D,上至少可以确定一个x与y对应，且满足y=f(x)。如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：x=f-()。我们称这个新的函数x=-()为函数y=f(x)的反函数，而把函数y=f(x)称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数y=f(x)是单值函数，但是其反函数x=f-()却不一定是单值的。例如，=f(x)=x2的定义域为D,=R，值域V,=[0,+)。任取非零的yeV,，则适合y=x?的x的数值有两个：x,=，x2=-。所以，直接函数y=x2的反函数x=-()是多值函数：x=±。如果把x限制在区间[0,+)上，则直接函数y=x，x[0,+)的反函数x=/是单值的。并称x=/为直接函数y=x2，xeR的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为x=-/。一个函数若有反函数，则有恒等式f-[f(x)=x，xED,。相应地有lr-(o)=y,yeV,。例如，直接函数J=J(s)-=x+3,xeR的反函数为x+3)-3|=× ,x=f-()=(y-3), yeR，并且有"[r(x)=4(v-3) +3= y。-())=13由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定y=f-(x)也是直接函数y=f(x)的反函数。3

例 2 +== sin2 xuuy 可复合成 y += sin2 x 注意： xuuy −== 2sin 就不能复合。 x y = 2arctan xvuuy v 例 3 可以看作是 = arctan 2 ， == 复合成的复合函数。 5. 反函数 设函数的定义域为 ，值域为 。对于任意的 Df Vf ∈Vy f ，在 上至少可以确 定一个 Df x 与 y 对应，且满足 = (xfy )。如果把 y 看作自变量， x 看作因变量，就 可以得到一个新的函数： (yfx ) −1 = 。我们称这个新的函数 为函数 的反函数，而把函数 ( ) yfx −1 = = ( ) xfy = (xfy )称为直接函数。 = (xfy ) ( ) yfx −1 应当说明的是，虽然直接函数 是单值函数，但是其反函数 = 却不一定是单值的。例如， ( ) 2 == xxfy 的定义域为 f = RD ，值域 。 任取非零的 ，则适合 的 [0， ∞+= ) Vf −== yxyx1 ， 2 x 2 = xy ∈Vy f 的数值有两个： 。所以， 直接函数 的反函数 (yfx ) −1 = ±= yx x 2 = xy 是多值函数： 。如果把 限制在区间 [0， ∞+ ) 上，则直接函数 ， x ∈[0，+ ∞) = yx 2 = xy 的反函数 是单值的。并称 = yx 为直接函数 ， 的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另 一个单值分支为 ∈ Rx 2 = xy −= yx 。 [ ( )] ∈≡ Dxxxff f 一个函数若有反函数，则有恒等式 −1 ， 。 [ ( )] ∈≡ Vyyyff f 相应地有 −1 ， 。 ( ) 3， ∈+== Rxxxfy 4 3 例如，直接函数 的反函数为 [ ] ( ) xff x ≡ x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − 33 4 3 3 1 4 ( ) ( ) ∈−== Ryyyfx − 3 ， 3 1 4 ，并且有 ， [ ] ( ) ( ) yyff ≡+ y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= − 33 3 4 4 1 3 。 由于习惯上 x表示自变量，y 表示因变量，于是我们约定 也是直接 函数 的反函数。 ( ) xfy −1 = = ( ) xfy 3

反函数x=-"()与y=f-(x)，这两种形式都要用到.应当说明的是函数=f(x)与它的反函数x=-(y)具有相同的图形。而直接函数y=f(x)与反函数y=f-(x)的图形是关于直线y=x对称的。二、函数的特性（1）有界性若有正数M存在，使函数f(x)在区间I上恒有f(x)≤M，则称f(x)在区间I上是有界函数；否则，f(x)在区间I上是无界函数。如果存在常数M（不一定局限于正数），使函数f(x)在区间I上恒有f(x)≤M,则称f(x)在区间I上有上界，并且任意一个N≥M的数N都是(x)在区间I上的一个上界；如畏存在常数m，使f(x)在区间1上恒有f(x)≥m，则称f(x)在区间I上有下界，并且任意一个/≤m的数1都是f(x)在区间1上的一个下界。显然，函数f(x）在区间I上有界的充分必要条件是f(x）在区间I上既有上界又有下界。（2）单调性设函数f(x)在区间1上的任意两点xi<x2，都有f(x)<f(x2）（或f(x)>f(xz))，则称y=f(x)在区间I上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数f(x)在区间1上的任意两点x<，都有(x)≤f(z）（或f(x)≥f(xz))，则称y=f(x)在区间I上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数y=x2在区间(-80,0)内是严格单调减少的；在区间(0,+)内是严格单调增加的。而函数y=x、y=x在区间(-80,+)内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数(x)在关于原点对称的区间上满足f(-x)=f(x）（或f(-x)=-f(x)）则称f(x)为偶函数（或奇函数)。4

反函数 = −1 ( ) yfx 与 (xfy ) −1 = ，这两种形式都要用到．应当说明的是函数 与它的反函数 具有相同的图形。而直接函数 与反函数 的图形是关于直线 = ( ) xfy ( ) yfx = ( ) xfy −1 = ( ) xfy −1 = y = x 对称的。 二、函数的特性 （1）有界性 若有正数M 存在，使函数 (xf )在区间 I 上恒有 ( ) ≤ Mxf ，则称 ( ) xf 在区间 I 上是有界函数；否则， 在区间 ( ) xf I 上是无界函数。 如果存在常数M（不一定局限于正数），使函数 (xf )在区间 I 上恒有 f(x) M， 则称 在区间 ≤ ( ) xf I 上有上界，并且任意一个 ≥ MN 的数 都是 N ( ) xf 在区间 I 上 的一个上界；如畏存在常数m ，使 (xf )在区间 I 上恒有 ( ) ≥ mxf ，则称 在 区间 ( ) xf I 上有下界，并且任意一个 ≤ ml 的数l都是 (xf )在区间 I 上的一个下界。 显然，函数 (xf )在区间 I 上有界的充分必要条件是 (xf )在区间 I 上既有上界 又有下界。 （2）单调性 设函数 ( ) xf 在区间 ( ) ( 1 2 < xfxf ) 21 I 上的任意两点 < xx ，都有 （ 或 () ( ) 1 > xfxf 2 ），则称 = ( ) xfy 在区间 I 上为严格单调增加（或严格单调减少）的 函数。 (xf ) ( ) ( 1 2 ≤ xfxf ) 21 如果函数 在区间 I 上的任意两点 < xx ，都有 （或 () ( ) 1 ≥ xfxf 2 ），则称 = ( ) xfy 在区间 I 上为广义单调增加（或广义单调减少）的 函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调 减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。 例如，函数 在区间( ) 2 = xy − ∞，0 内是严格单调减少的；在区间 内是严 格单调增加的。 (0， ∞+ ) 而函数 在区间(− ∞，+ ∞) 3 、 == xyxy 内都是严格单调增加的。 （3）奇偶性 若函数 ( ) xf 在关于原点对称的区间 I 上满足 (− ) ( = xfxf ) （ 或 () ( −=− xfxf )）则称 为偶函数（或奇函数）。 ( ) xf 4

偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，f(x)=x2、g(x)=xsinx在定义区间上都是偶函数。而F(x)=x、G(x)=xcosx在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，对一切的x均有f(x+T)=f(αx)，则称函数f(x)为周期函数。并把T称为f(x)的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，y=sinx、y=cosx都是以2元为周期的周期函数，而y=tanx、y=cotx则是以元为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。三、初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。(1）幂函数y=x"(aeR)它的定义域和值域依α的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在xE(0,+)内总有1定义。当aeN或a=22n-'neN时，定义域为R。常见的幂函数的图形如图1-1所示。(2）指数函数y=a(a>0，a±1)图 1-1它的定义域为(-0+)，值域为(0,+)。指数函数的图形如图1-2所示.(3）对数函数y=log。x(a>0，a+1)定义域为(0,+)，值域为(-co,+)。对数函数y=log。x是指数函数y=α的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e=2.718281828作为指数函数和对数函数的底，并且记e=expx,log。x=lnx，而后者称为自然对数函数。5

偶函数的图形是关于 y 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。 例如， 在定义区间上都是偶函数。而 、 在定义区间上都是奇函数。 () () sin xxxgxxf ( ) = xxF 2 = 、 = ( ) = cos xxxG （4）周期性 对于函数 = ( ) xfy ，如果存在一个非零常数 T , 对一切的 x 均 有 ( )( =+ xfTxf )，则称函数 为周期函数。并把 ( ) xf T 称为 (xf )的周期。应当指出 的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。 对三角函数而言， = sin 、 = cos xyxy 都是以 2π 为周期的周期函数，而 y = tan x、 y = cot x 则是以π 为周期的周期函数。 关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是 函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。 三、初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这 6 类函数叫 做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。 （1）幂函数 ( ) Raxy a ∈= 它的定义域和值域依 的取值不同而不同， 但是无论a取何值，幂函数在 a x ∈( ,0 +∞)内总有 定义。当 或 a ∈ N Nn n a ∈ − = ， 12 1 时，定义域 为 R 。常见的幂函数的图形如图 1-1 所示。 （2）指数函数 ( ) aaay ≠>= 10 x ， 图 1-1 它的定义域为( ， ∞+∞− )，值域为(0，+ ∞)。 指数函数的图形如图 1-2 所示． = log ( > aaxy ≠ 10 ) （3）对数函数 a ， 定义域为(0，+ ∞)，值域为(− ∞，+ ∞)。对数函数 xy a = log 是指数函数 的 反函数。其图形见图 1-3。 x = ay 在工程中，常以无理数 e＝2.718 281 828.作为指数函数和对数函数的底， 并且记e x = ， e = lnlogexp xxx ，而后者称为自然对数函数。 5