第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性小结思考题
1 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 ◼ 四则运算的连续性 ◼ 反函数与复合函数的连续性 ◼ 小结 思考题 ◼ 初等函数的连续性
一、四则运算的连续性定理1若函数,f(x)，g(x)在点x,处连续,则(1)和(差)函数f(x)土g(x),也在点x。连续;(2)乘积函数.f(x)·g(x),在点xo连续：f(x)在点X连续（3）如果g（x）+0则商函数g(x)如,由于 sinx,cosx在(-o0,+oo)内连续故 tanx,cotx 在其定义域内连续
2 定理1 ( ) ( ) ( ) ( ), 1 和 差 函数 f x g x 如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x, ( ), ( ) , 若函数 f x g x x 在点 0 处连续 则 (2)乘积函数 f (x) g(x), 由于 ( ) ( ) (3) ( ) 0, 0 g x f x 如 果g x 则商函数 cot x 一、四则运算的连续性 也在点 连续; 在其定义域内连续. 在点 连续; 在点 连续. x0 0 x 0 x
二、反函数与复合函数的连续性定理2单调的连续函数必有单调的连续反函数元元如，=sinx在[上单调增加且连续2'2故y=arcsinx 在[-1,1]上也是单调增加且连续同理,y=arccos x在[-1,1]上单调减少且连续y=arctan x在(-o0,+ oo)内单调增加且连续= arccotx 在(-0,+o)内单调减少且连续结论：反三角函数在其定义域内皆连续1
3 如, 在 ]上 2 , 2 sin [ y = x − y = arcsin x y = arccos x y = arctan x 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续 定理2 故 同理, y = arccot x 在(− ,+ )内 在 (− ,+ )内 在[ − 1, 1]上 二、反函数与复合函数的连续性 单调增加且连续, 单调的连续函数必有单调的连续反函数. 也是单调增加且连续. 单调减少且连续. 单调增加且连续. 单调减少且连续
此定理对计算某些极限是很方便的定理3设函数y=f[g(x)l是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(xo)C Dfog·若lim g(x)= uo而函数/y= f(u)在u=u连续,则lim f[g(x)]= lim f(u)= f(uo)x-→xou-→uo证 ：f(u)在点u=u,连续,V ε>0,3n>0使当lu-uol<n时,恒有f(u)-f(u)<ε诚立又： lim g(x)=uo,对于n>0 >0->X使当0<x-x<时,恒有g(x)-uo=|u-uol<n成立
4 此定理对计算某些极限是很方便的. 定理3设函数 是由函数 与函数 复合而成, ( ) . 0 o U x Df g 而函数 连续,则 lim ( ) 0 f u u→u lim [ ( )]= 0 f g x x→x 证 0, lim ( ) , 0 0 g x u x x = → 又 0, ( ) ( ) . 恒有 f u − f u0 成立 0, 0 , 使当 x − x0 时 ( ) . 恒有 g x −u0 成立 ( ) , f u 在点u = u0 连续 = u−u0 y = f [g(x)] y = f (u) lim ( ) , 0 0 g x u x x = 若 → u u0 y = f (u)在 = ( ). u0 = f , 使当 u − u0 时 u = g(x) 对于 0
>0,>0,使当u-u<时恒有f(u)-f(uo)<ε成立.对于>0,>0,使当0<x-x<时,恒有|g(x)-uo|u-uok n成立.将上两步合起来：>0,3>0,使当0<x-x时f(u)- f(uo) =lf[g(x)-f(uo)< 成立:: lim fIg(x)]= f(uo) =f[lim g(x) l.x→xox→xo-
5 将上两步合起来: 0, ( ) ( ) u0 f u − f 成立. = = → lim [ ( )] ( ) 0 0 f g x f u x x f[ ]. 0, 对于 0, 0, ( ) ( ) . 恒 有 f u − f u0 成 立 0, 0 , 使 当 x − x0 时 ( ) . 恒 有 g x − u0 = u − u0 成 立 0, 0, 0 , 使 当 x − x0 时 [ ( )] ( ) u0 = f g x − f 0, 0 , 使当 x − x0 时 ( ) ( ) . 恒 有 f u − f u0 成 立lim ( ) 0 g x x→x , 使当 u − u0 时