线性代数教程第0503节相似矩鸭 2347 第三节相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结思考题 线性代数小组 第1页
线性代数教程 线性代数小组 第0503节 相似矩阵 23:47 第1页 第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结 思考题
线性代数教程 第0503节相似矩阵 2347 、相似矩阵与相似变换的概念 定义1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 P-AP=B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似.对A进 行运算PAP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 线性代数小组 第2页
线性代数教程 线性代数小组 第0503节 相似矩阵 23:47 第2页 一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =
线性代数教程第0503节相似矩阵 2347 二、相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 ()反身性A与A本身相似 (2对称性若A与B相似，则B与A相似， (3)传递性 若A与B相似，B与C相似， 则A与C相似. 2.P(4A)P-(PAPp1A,P） 3.若A与B相似，则Am与Bm相似m为正整数) 线性代教小组 第3页
线性代数教程 线性代数小组 第0503节 相似矩阵 23:47 第3页 1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性
线性代数教程 第0503节相似矩阵 2347 4.P-(k A +k24)P=k P-A P+kPA,P 其中k1,飞，是任意常数. 定理1若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →]可逆阵P,使得P-AP=B .B-E=P-AP-P-AE)P =P-(A-AE)P =P-A-E P =A-2E. 线性代数小组 第4页
线性代数教程 线性代数小组 第0503节 相似矩阵 23:47 第4页 证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
线性代数教程第0503节相似矩腾 2347 推论若n阶方阵A与对角阵 相似，则21,22，2即是4的n个特征值 线性代数小组 第5页
线性代数教程 线性代数小组 第0503节 相似矩阵 23:47 第5页 推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值