第四章不定积分84.1不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：一、原函数与不定积分定义1如果对任一xEI，都有F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。例如：（sinx)=cosx，即sinx是cosx的原函数。1[In(x+ /1+x°) =-+，即I(++/1+)是的原函数。27V1+x2原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一xeI，有F(x)=f(x)。注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)+C'=f(x)，即F(a)+C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)-G(x)=C(C为常数)注3：如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。定义2在区间1上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。123
123 第四章 不定积分 §4.1 不定积分的概念与性质 教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学内容： 一、原函数与不定积分 定义 1 如果对任一 x ∈ I ，都有 F′(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的原函数。 例如：(sin x)′ = cos x，即sin x 是cos x的原函数。 2 2 1 1 [ln( 1 ) x x x + + + ′ = ，即ln( 1 ) 2 x + + x 是 2 1 1 + x 的原函数。 原函数存在定理：如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在区间 I 上一定 有原函数，即存在区间 I 上的可导函数 F(x)，使得对任一 x ∈ I ，有 F′(x) = f (x)。 注 1：如果 f (x) 有一个原函数，则 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 F(x)是 f (x) 的原函数，则[F(x) + C]′ = f (x) ，即 F(x) + C 也为 f (x) 的原 函数，其中C 为任意常数。 注 2：如果 F(x)与G(x)都为 f (x) 在区间 I 上的原函数，则 F(x)与G(x)之差为常 数，即 F( x) − G(x) = C （C 为常数） 注 3：如果 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C（C 为任意常数） 可表达 f (x) 的任意一个原函数。 定义 2 在区间 I 上， f (x) 的带有任意常数项的原函数，成为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记为∫ f (x)dx
如果F(x)为f(x)的一个原函数，则[f(x)dx=F(x)+C，（C为任意常数）例1．求xdx。X)=x，得「xds=解：因为+C（3例2．求[=dx。x解：因为，x>0时，(nx)=！x<0时,[n(-x)]'=(-x) =，得xx(In|xD'= 1因此有xC= In |x|+Cx例3．设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为y=(x)，其上任一点(,J)处切线的斜率为崇=22dx从而[2xdx=x2 +CV=由y(1)=2，得C=1，因此所求曲线方程为y= x?+1由原函数与不定积分的概念可得：[ - 1)2) d[f(x)dx= f(x)dx3) [F(x)dx=F(x)+C4) [dF(x)= F(x)+C5) [dx=x+C二、积分公式1) [ kdx = kx+C(k为常数)124
124 如果 F(x)为 f (x) 的一个原函数，则 f x dx = F x + C ∫ ( ) ( ) ，（C 为任意常数） 例1． 求 2 x dx ∫ 。 解：因为 2 3 ) 3 ( x x ′ = ， 得 3 2 3 x x ds C = + ∫ 例2． 求 1 dx x ∫ 。 解：因为， x > 0时， x x 1 (ln )′ = ； x < 0时， x x x x 1 ( ) 1 [ln( )] − ′ = − − ′ = ，得 x x 1 (ln | |)′ = ，因此有 1 dx x C ln | | x = + ∫ 例3． 设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲 线的方程。 解：设曲线方程为 y = f (x)，其上任一点(x, y) 处切线的斜率为 x dx dy = 2 从而 ∫ y = xdx = x + C 2 2 由 y(1) = 2 ，得C = 1，因此所求曲线方程为 1 2 y = x + 由原函数与不定积分的概念可得： 1) ∫ f (x)dx = f (x) dx d 2) d f x dx f x dx ∫ ( ) = ( ) 3) ∫ F′( x)dx = F(x) + C 4) dF x = F x + C ∫ ( ) ( ) 5) ∫ dx = x + C 二、积分公式 1) ∫ kdx = kx + C ( k 为常数)
r+C(μ±-1)Adxμ+1ax= In| x| +C3)Xdx4)arctanx+C1+x2dxarcsinx+C5)-x6)[cosxdx= sinx+C7][sin xdx=-cosx+C[d,=Jse° xdx= tanx+C8)cosx9) [,-[esc xdt=-cotx+CJ sin?x10) [secx tan xdx = sec x+C11) [cscxcot xdx=-cscx+C12) Je*dx =e* +C13) Ja'd=%g+CIna14) [sinh xdx = cosh x +C15) [cosh xdx = sinh x +C例4. [rd=x=号x+c7三、不定积分的性质性质 1. J[f(x)+g(x)]dx=[ f(x)dx+Jg(x)dx性质2.[kf(x)dx=kjf(x)dx，（k为常数，k0)例5. 求「Vx(x2-5)dx解：125
125 2) ∫ + + = + C x x dx 1 1 μ μ μ ( 1 μ ≠ − ) 3) ∫ = x +C x dx ln | | 4) ∫ + + x C x dx arctan 1 2 5) ∫ + − x C x dx arcsin 1 2 6) ∫ cos xdx = sin x + C 7) ∫sin xdx = −cos x + C 8) ∫ ∫ = xdx = x + C x dx sec tan cos 2 2 9) ∫ ∫ = xdx = − x + C x dx csc cot sin 2 2 10) ∫sec x tan xdx = sec x + C 11) ∫ csc x cot xdx = −csc x + C 12) ∫ e dx = e + C x x 13) ∫ = + C a a a dx x x ln 14) ∫sinh xdx = cosh x + C 15) ∫ cosh xdx = sinh x + C 例 4． x x dx = x dx = x + C ∫ ∫ 2 7 2 5 2 7 2 三、不定积分的性质 性质 1．∫ ∫ ∫ [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质 2．∫ ∫ kf (x)dx = k f (x)dx ， （k 为常数，k ≠ 0 ） 例5． 求 x (x 5)dx 2 − ∫ 解：
[ Vx(x2 -5)dx= [(x3 - 5x3)dx[xdx-xd23-10x2+C-372xVx-102-x/x+C37(x-1)3求例6.dx2解：(x-1)3x2-3x2+3x-1dxdxx23/(x-3+dr110.号2==x2x2+C37x-3x+31n|x|+-+C12x例7.求「(e-3cosx+2*e')dx解：J(e*-3cos x+2*e*)dx= e*dx-3Jcos xdx+ [(2e)’dx(2e)*=e*-3sinx++CIn(2e)(2e)*=er-3sinx++C1+ ln2l+x+x?例8.求-dxx(1 + x)解：1+x+x?r(1+)+xdxdx:x(1 + x2)x(1 + x2)dx+[1dJ 1+ x2= In | x |+arctanx +C126
126 x x x x C x x C x dx x dx x x dx x x dx = − + = − + = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 3 10 7 2 3 10 7 2 5 ( 5) ( 5 ) 3 2 3 2 7 2 1 2 5 2 1 2 5 2 例6． 求 dx x x ∫ − 2 3 ( 1) 解： C x x x x x x C dx x x x dx x x x x dx x x = − + + + = − + = − + − − + − = − ∫ ∫ ∫ 1 3 3ln | | 2 3 10 7 2 ) 3 1 ( 3 ( 1) 3 3 1 2 2 3 2 7 2 2 3 2 2 3 例7． 求 ∫ e − x + e dx x x x ( 3cos 2 ) 解： C e e x C e e e x e dx xdx e dx e x e dx x x x x x x x x x + + = − + = − + + = − + − + ∫∫ ∫ ∫ 1 ln 2 (2 ) 3sin ln(2 ) (2 ) 3sin 3 cos (2 ) ( 3cos 2 ) 例 8．求 dx x x x x ∫ + + + (1 ) 1 2 2 解： x x C dx x dx x dx x x x x dx x x x x = + + + = + + + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ln | | arctan 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 2 2
例9.求「tan?xdx解：[tan°xdx = [(sec° x- 1)dx= J sec'xdx-[ dx= tanx-x+CJsin?三dx例10.求2解：1-cosXdxJ sin?dx =22cosxdx-dx-2-(x-sinx)+C223例11、)dxIP解：1+=3arctanx-2arcsinx+C例12、求-dx1+cos2x解：-dx =-dx-tanx+Cdx1+2cos2x-121+cos2x2/cosx小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用作业：127
127 例9． 求 ∫ xdx 2 tan 解： x x C xdx dx xdx x dx = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ tan sec tan (sec 1) 2 2 2 例10．求 dx x 2 sin2 ∫ 解： x x C dx xdx dx x dx x = − + = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ( sin ) 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 cos 2 sin2 例 11、求 2 2 3 2 ( )d 1 1 x x x − + − ∫ 解： 2 2 3 2 ( )d 1 1 x x x − + − ∫ 2 1 3 d 1 x x = − + ∫ 2 1 2 d 1 x − x ∫ = 3arctan x −2arcsin x +C 例 12、求 1 d 1 cos 2 x + x ∫ 。 解： 1 d 1 cos 2 x + x ∫ 2 1 d 1 2cos 1 x x = + − ∫ 2 1 1 d 2 cos x x = ∫ 1 tan 2 = x +C 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几 个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 作业：